Question

7．如圖，AO、BO、CO、DO分別是四邊形ABCD的四個內角的平分線．
（1）判斷∠AOB與∠COD有怎樣的數(shù)量關系，為什么？
（2）若∠AOD=∠BOC，AB、CD有怎樣的位置關系，為什么？

Answer 1

分析 （1）根據角平分線的定義得到∠1=$\frac{1}{2}∠$DAB，∠2=$\frac{1}{2}$ABC，∠3=$\frac{1}{2}∠$ADC，∠4=$\frac{1}{2}∠$BCD，根據四邊形的內角和即可得到結論；
（2）由（1）證得∠AOB+∠COD=180°，得到∠AOD+∠BOC=180°，根據角平分線的定義得到∠BAD+∠ADC=180°，由平行線的判定定理即可得到結論．

解答 解：（1）∠AOB+∠COD=180°，
理由：∵AO、BO、CO、DO分別是四邊形ABCD的四個內角的平分線，
∴∠1=$\frac{1}{2}∠$DAB，∠2=$\frac{1}{2}$ABC，∠3=$\frac{1}{2}∠$ADC，∠4=$\frac{1}{2}∠$BCD，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=$\frac{1}{2}$（∠DAB+∠ABC+∠ADC+∠BCD）=$\frac{1}{2}×360°$=180°，
∴∠AOB+∠COD=360°-∠1-∠2-∠3-∠4=180°；

（2）AB∥CD；
理由：由（1）證得∠AOB+∠COD=180°，
∴∠AOD+∠BOC=180°，
∵∠AOD=∠BOC，
∴∠AOD=90°，
∵AO、BO、CO、DO分別是四邊形ABCD的四個內角的平分線，
∴∠OAD+∠ADO=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠ADC）=90°，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴AB∥CD．

點評 本題考查了多邊形的內角和外角，平行線的判定，角平分線的定義，正確的識別圖形是解題的關鍵．