Question

11．已知O、A、B、C的坐標(biāo)分別為（0，0）、（1，0）、（1，1）、（0，1），求證：無(wú)論k為何值，一次函數(shù)y=kx-（$\frac{k}{2}$-$\frac{1}{3}$）和二次函數(shù)y=x²必會(huì)有一個(gè)交點(diǎn)在單位正方形OABC內(nèi)部．

Answer 1

分析 聯(lián)立方程得出關(guān)于x的二元一次方程，根據(jù)△=（k+1）²+$\frac{1}{3}$＞0，判定一次函數(shù)y=kx-（$\frac{k}{2}$-$\frac{1}{3}$）和二次函數(shù)y=x²必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；然后分兩種情況討論，判定兩種情況都不存在，從而證得結(jié)論．

解答 解：∵y=kx-（$\frac{k}{2}$-$\frac{1}{3}$），
∴k≠0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-（\frac{k}{2}-\frac{1}{3}）}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，
∴x²-kx+（$\frac{k}{2}$-$\frac{1}{3}$）=0，
∵△=k²-4×1×（$\frac{k}{2}$-$\frac{1}{3}$）=（k+1）²+$\frac{1}{3}$＞0，
∴一次函數(shù)y=kx-（$\frac{k}{2}$-$\frac{1}{3}$）和二次函數(shù)y=x²必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
①當(dāng)k＞0時(shí)，一次函數(shù)y=kx-（$\frac{k}{2}$-$\frac{1}{3}$）和二次函數(shù)y=x²的交點(diǎn)在單位正方形OABC外部，
則x=0時(shí)，y＞0，當(dāng)x=1時(shí)，y＞1，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{k}{2}+\frac{1}{3}＞0}\\{\frac{k}{2}+\frac{1}{3}＞1}\end{array}\right.$
解得不等式組無(wú)解，
所以，此種情況不存在；
②當(dāng)k＜0時(shí)，一次函數(shù)y=kx-（$\frac{k}{2}$-$\frac{1}{3}$）和二次函數(shù)y=x²的交點(diǎn)在單位正方形OABC外部，
則x=0時(shí)，y＜0，當(dāng)x=1時(shí)，y＞1，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{k}{2}+\frac{1}{3}＜0}\\{\frac{k}{2}+\frac{1}{3}＞0}\end{array}\right.$
解得k$＞\frac{4}{3}$，這與k＜0矛盾，
所以，此種情況也不存在；
綜上，無(wú)論k為何值，一次函數(shù)y=kx-（$\frac{k}{2}$-$\frac{1}{3}$）和二次函數(shù)y=x²必會(huì)有一個(gè)交點(diǎn)在單位正方形OABC內(nèi)部．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，直線和拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題，分類(lèi)討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．