Question

19．在矩形ABCD中，AB=3米，BC=4米，動點P以2米/秒的速度從點A出發(fā)，沿AC向點C移動，同時動點Q以1米/秒的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B移動，設P、Q兩點同時移動的時間為t秒（0＜t＜2.5）．
（1）當t為何值時，PQ∥AB；
（2）設四邊形ABQP的面積為y，當t為何值時，y的值最小？并求出這個最小值．

Answer 1

分析 （1）首先由勾股定理求得AC=5，然后根據(jù)AB∥PQ可得到$\frac{PC}{AC}=\frac{QC}{BC}$，從而得到關于t的方程，從而可解得t的值；
（2）過點P作PE⊥BC，由PE∥AB可得到$\frac{PC}{AC}=\frac{PE}{AB}$，從而可求得PE=3-$\frac{6}{5}t$，然后根據(jù)y=△ABC的面積-△PQC的面積列出t與y的函數(shù)關系式，最后利用配方法求得最小值即可．

解答 解：（1）如圖1所示：

在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$．
設運動時間為t，則PC=AC-AP=5-2t，QC=t，
∵AB∥PQ，
∴△CPQ∽△CAB．
∴$\frac{PC}{AC}=\frac{QC}{BC}$，$\frac{5-2t}{5}=\frac{t}{4}$．
解得；t=$\frac{20}{13}$；
（2）如圖2所示：過點P作PE⊥BC．

設運動時間為t，則PC=AC-AP=5-2t，QC=t，
∵PE∥AB，
∴△CPE∽△CAB．
∴$\frac{PC}{AC}=\frac{PE}{AB}$，即$\frac{5-2t}{5}=\frac{PE}{3}$．
∴PE=3-$\frac{6}{5}t$．
∴△PQC的面積=$\frac{1}{2}QC•PE=\frac{1}{2}×t（3-\frac{6}{5}t）$=-$\frac{3}{5}{t}^{2}+\frac{3}{2}t$．
∴y=△ABC的面積-△PQC的面積=$\frac{1}{2}×4×3$$-（-\frac{3}{5}{t}^{2}+\frac{3}{2}t）$=$\frac{3}{5}{t}^{2}-\frac{3}{2}t+6$，
配方得：y=$\frac{3}{5}（t-\frac{5}{4}）^{2}+\frac{81}{16}$．
∴當t=$\frac{5}{4}$時，y有最小值，最小值為y=$\frac{81}{16}$．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)和相似三角形的性質和判定的綜合應用，利用相似三角形的性質求得PE的長，從而得到y(tǒng)與t的函數(shù)關系式是解題的關鍵．