Question

1．如圖，矩形ABCD中，AD=10，AB=8，點E為邊DC上一動點，連接AE，把△ADE沿AE折疊，使點D落在點D′處，當(dāng)△DD′C是直角三角形時，DE的長為4或5．

Answer 1

分析 先利用折疊的性質(zhì)得到DE=D′E，AD=AD′=10，再分類討論：當(dāng)∠DD′C=90°時，如圖1，利用等腰三角形的性質(zhì)證明ED′=EC，從而得到DE=EC=$\frac{1}{2}$CD=4；當(dāng)∠DCD′=90°時，則點D′落在BC上，如圖2，設(shè)DE=x，則ED′=x，CE=8-x，先利用勾股定理計算出BD′=6，則CD′=4，則在Rt△CED′中利用勾股定理得到方程（8-x）²+4²=x²，再解方程求出x，于是可判斷當(dāng)△DD′C是直角三角形時，DE的長為4或5．

解答 解：∵△ADE沿AE折疊，使點D落在點D′處，
∴DE=D′E，AD=AD′=10，
當(dāng)∠DD′C=90°時，如圖1，
∵DE=D′E，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠4，
∴ED′=EC，
∴DE=EC=$\frac{1}{2}$CD=4；
當(dāng)∠DCD′=90°時，則點D′落在BC上，如圖2，
設(shè)DE=x，則ED′=x，CE=8-x，
∵AD′=AD=10，
∴在Rt△ABD′中，BD′=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴CD′=4，
在Rt△CED′中，（8-x）²+4²=x²，解得x=5，
即DE的長為5，
綜上所述，當(dāng)△DD′C是直角三角形時，DE的長為4或5．
故答案為4或5．

點評 本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．解題時，我們常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨�角形，運用勾股定理列出方程求出答案．