Question

20．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=48，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0），過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE、EF．
（1）求證：AE=DF；
（2）當(dāng)四邊形BFDE是矩形時(shí)，求t的值；
（3）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠DFC=90°，∠C=30°，證出DF=2t=AE；
（2）當(dāng)四邊形BEDF是矩形時(shí)，△DEF為直角三角形且∠EDF=90°，求出t的值即可；
（3）先證明四邊形AEFD為平行四邊形．得出AB=3，AD=AC-DC=48-4t，若△DEF為等邊三角形，則四邊形AEFD為菱形，得出AE=AD，2t=48-4t，求出t的值即可；

解答 解：（1）證明：在Rt△CDF中，∠C=30°
∴DF=$\frac{1}{2}$CD，
∴DF=$\frac{1}{2}$•4t=2，
又∵AE=2t，
∴AE=DF．

（2）當(dāng)四邊形BFDE是矩形時(shí)，有BE=DF，
∵Rt△ABC中，∠C=30°
∴AB=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×48=24，
∴BE=AB-AE=24-2t，
∴24-2t=2t，
∴t=6．

（3）∵∠B=90°，DF⊥BC
∴AE∥DF，∵AE=DF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
由（1）知：四邊形AEFD是平行四邊形
則當(dāng)AE=AD時(shí)，四邊形AEFD是菱形
∴2t=48-4t，
解得t=8，又∵t≤$\frac{AB}{v}$=$\frac{24}{2}$=12，
∴t=8適合題意，
故當(dāng)t=8s時(shí)，四邊形AEFD是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形、菱形、矩形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的知識(shí)；考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．