Question

8．如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，BC=$\frac{21}{2}$，AD=$\frac{3}{2}$，CD=12，過AB的中點E作AB的垂線交BC的延長線于F．
（1）求BF的長；
（2）如圖2，以點C為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，請通過計算判斷，過E點的反比例函數(shù)圖象與直線AB是否還有另一個交點？

Answer 1

分析 （1）作AG⊥BC于G，在直角△AG中利用勾股定理求得AB的長，然后證明△ABG∽△FBE，利用相似三角形的性質(zhì)求解；
（2）作EH⊥BC于H，求得直線AB的解析式，然后解反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式組成的方程組求解．

解答 解：（1）作AG⊥BC于G，則AG=CD=12，BG=BC-AD=9，
在Rt△ABG中，AB=$\sqrt{A{G}^{2}+B{G}^{2}}$=15，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{15}{2}$．
∵∠ABG=∠FBE，∠AGB=∠FEB，
∴△ABG∽△FBE，
∴$\frac{BF}{BE}$=$\frac{AB}{BG}$，
得BF=$\frac{AB•BE}{BG}$=$\frac{25}{2}$．

（2）作EH⊥BC于H，則EH=6，
∴CH=6，
點E的坐標(biāo)是（-6，6），
點B的坐標(biāo)是（-$\frac{21}{2}$，0），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}k+b=12}\\{-\frac{21}{2}k+b=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=14}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=$\frac{4}{3}$x+14．
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{{k}_{1}}{x}$，
將E點坐標(biāo)代入得，k₁=-36．
∴過E點的反比例函數(shù)解析式為y=-$\frac{36}{x}$．
由-$\frac{36}{x}$=$\frac{4}{3}$x+14，
解得：x₁=-6，x₂=-$\frac{9}{2}$．
∴過E點的反比例函數(shù)圖象與直線AB還有另一個交點．

點評 本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確利用相似三角形的性質(zhì)求得BF的長是關(guān)鍵．