Question

13．如圖，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B，C為⊙O₁上一點(diǎn)，CA交⊙O₂于D，BD交⊙O₁于F，直線CF交⊙O₂于E、G．
（1）求證：DE²=DF•DB；
（2）求證：DO₂⊥EG；
（3）若DA=3，CA=5，CE=4，試求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）如圖1，證明△EDF∽△BDE，得$\frac{DE}{DB}=\frac{DF}{DE}$，所以DE²=DF•DB；
（2）如圖2，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得：∠DGE=∠EBD，由（1）得∠DEF=∠EBD，則∠DGE=∠DEF，
由圓周角相等則所對(duì)的弧相等，再根據(jù)垂徑定理的推論：過圓心且平分劣弧的直線垂直于弦；
（3）如圖3，先由割線定理得：DF•DB=24，由（1）DE²=DF•DB可求得DE的長(zhǎng)；再根據(jù)四點(diǎn)共圓，對(duì)角互補(bǔ)及平角的定義得∠CAE=∠G，證明△CAE∽△CGD，列比例式可求得AE的長(zhǎng)．

解答 證明：（1）如圖1，連接BE、AB，
∵∠ADE=∠ABE，∠C=∠ABF，
∵∠DEF=∠C+∠ADE，∠EBD=∠ABE+∠ABF，
∴∠DEF=∠EBD，
∵∠EDF=∠BDE，
∴△EDF∽△BDE，
∴$\frac{DE}{DB}=\frac{DF}{DE}$，
∴DE²=DF•DB；
（2）如圖2，連接O₂D，
∵∠DGE=∠EBD，∠DEF=∠EBD，
∴∠DGE=∠DEF，
∴$\widehat{ED}$=$\widehat{DG}$，
∴DO₂⊥EG；
（3）如圖3，由割線定理得：DF•DB=AD•DC=3×8=24，
∵DE²=DF•DB，
∴DE=$\sqrt{24}$=2$\sqrt{6}$，
∵DG=DE=2$\sqrt{6}$，
∵∠CAE=∠G，∠C=∠C，
∴△CAE∽△CGD，
∴$\frac{CE}{CD}=\frac{AE}{DG}$，
∴$\frac{4}{8}=\frac{AE}{2\sqrt{6}}$，
∴AE=$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是相似形和圓的綜合題，兩圓相交時(shí)，要注意尋找相等的圓周角；此類題的解題思路為：①結(jié)論為線段的乘積時(shí)，將四條線段寫成比例式，證明兩三角形相似；②垂直：除了得到90°外，還可以考慮利用垂徑定理來解決；③求線段的長(zhǎng)時(shí)，可以證明所在的三角形相似，列比例式求得，同時(shí)與割線定理相結(jié)合，解決問題．