Question

16．如圖是長為20cm，寬為8cm的矩形紙片，M點為長BC邊上的中點，沿過M的直線翻折．若頂點B落在對邊AD上，那么折痕長度為5$\sqrt{5}$或4$\sqrt{5}$cm．

Answer 1

分析 過F作ME⊥AD于E，則四邊形ABME為矩形，由矩形的性質(zhì)得到AE=BF，AB=EM，分兩種情況：（i）當(dāng)G在AB上，B′落在AE上時，由折疊的性質(zhì)得到B′M=BM，BG=B′G，由勾股定理求出B′E的長，由AE-B′E求出AB′的長，設(shè)AG=x，由AB-AG表示出BG，即為B′G，在Rt△AB′G中，由勾股定理得出方程，求出方程的解得到x的值，確定出AG的長，進(jìn)而求出BG的長，在Rt△GBM中，由勾股定理即可求出折痕MG的長；
（ii）當(dāng)G在AE上，B′落在ED上，同理求出B′E的長，設(shè)A′G=AG=y，由AE+B′E-AG表示出GB′，在Rt△A′B′G中，由勾股定理得出方程，求出方程的解得到y(tǒng)的值，求出AG的長，由AE-AG求出GE的長，在Rt△GEM中，利用勾股定理即可求出折痕MG的長，即可得出答案．

解答 解：分兩種情況：
（i）如圖1所示，過M作ME⊥AD于E，G在AB上，B′落在AE上，可得四邊形ABME為矩形，
∴EM=AB=8cm，AE=BM，
又∵BC=20，M為BC的中點，
∴由折疊可得：B′M=BM=$\frac{1}{2}$BC=10cm，
在Rt△EMB′中，根據(jù)勾股定理得：B′E=$\sqrt{B'{E}^{2}-E{M}^{2}}$=6，
∴AB′=AE-B′E=10-6=4，
設(shè)AG=x，則有GB′=GB=8-x，
在Rt△AGB′中，根據(jù)勾股定理得：GB′²=AG²+A′B′²，
即（8-x）²=x²+4²，
解得：x=3，
∴GB=8-3=5，
在Rt△GBM中，根據(jù)勾股定理得：GM=$\sqrt{G{B}^{2}-B{M}^{2}}$$\sqrt{G{B}^{2}+B{M}^{2}}$=5$\sqrt{5}$；
（ii）如圖2所示，過M作ME⊥AD于E，G在AE上，B′落在ED上，可得四邊形ABME為矩形，
∴EM=AB=16，AE=BM，
又BC=40，M為BC的中點，
∴由折疊可得：B′M=BM=$\frac{1}{2}$BC=10，
在Rt△EMB′中，根據(jù)勾股定理得：B′E═$\sqrt{B'{E}^{2}-E{M}^{2}}$=6，
∴AB′=AE+B′E=20+12=32，
設(shè)AG=A′G=y，則GB′=AB′-AG=AE+EB′-AG=32-y，A′B′=AB=16，
在Rt△A′B′G中，根據(jù)勾股定理得：A′G²+A′B′²=GB′²，
即y²+16²=（32-y）²，
解得：y=12，
∴AG=12，
∴GE=AE-AG=20-12=8，
在Rt△GEM中，根據(jù)勾股定理得：GM=$\sqrt{G{E}^{2}+E{M}^{2}}$=4$\sqrt{5}$；
綜上所述，折痕MG=5$\sqrt{5}$cm或4$\sqrt{5}$cm．
故答案為：5$\sqrt{5}$或4$\sqrt{5}$．

點評 此題考查了翻折變換-折疊問題，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，利用了方程、轉(zhuǎn)化及分類討論的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．