Question

如圖所示，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過點（-1，2）和（1，0），下列結論，①

ac

b

＞0；②2a+b＜0；③（2a+

1

2

c）²＜b²；④a＞1；⑤3a+c＜2；其中正確的結論有

 

．（只填序號即可）

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系

專題：

分析：由拋物線開口向上得a＞0，由拋物線的對稱軸為x=-

b

2a

＞0得b＜0，由拋物線與y軸的交點在x軸下方得c＜0，所以abc＞0；由于0＜-

b

2a

＜1，所以2a+b＞0；由于拋物線過（-1，2）、（1，0），則a-b+c=2，a+b+c=0，即b=-1，a+c=1，由于x=2時，y＞0，即4a+2b+c＞0，則4a+c＞-2b＞0，所以

4a+c

2

＞-b＞0，兩邊平方得（

4a+c

2

）²＞b²，整理得（2a+

1

2

c）²＞b²；由2a-1＞0，得a＞

1

2

；3a+c=3a+1-a=2a+1＞2．

解答：解：∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵拋物線的對稱軸為x=-

b

2a

＞0，
∴b＜0，
∵拋物線與y軸的交點在x軸下方，
∴c＜0，
∴

ac

b

＞0，所以①正確；
∵0＜-

b

2a

＜1，
∴2a+b＞0，所以②錯誤；
把（-1，2）、（1，0）代入解析式得a-b+c=2，a+b+c=0，
∴b=-1，a+c=1，
當x=2時，y＞0，即4a+2b+c＞0，
4a+c＞-2b＞0，
∴

4a+c

2

＞-b＞0，
∴（

4a+c

2

）²＞b²，
∴（2a+

1

2

c）²＞b²，所以③錯誤；
∵-

b

2a

＜1，可得-b＜2a，
∵b=-1，
∴2a＞1，即a＞

1

2

，所以④錯誤；
3a+c=3a+1-a=2a+1＞2，所以⑤錯誤．
故答案為：①．

點評：本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置，常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點，拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)，△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．