Question

在半徑為1的⊙O中內接有銳角△ABC，H是△ABC的垂心，角平分線AL垂直于OH，則BC=

 

．

Answer 1

考點：三角形的五心

專題：

分析：設AL與⊙O交于點D，與OH交于點N，連接OD，交BC于點M，連接CO并延長交⊙O于點G，連接GA、GB、AO，易證四邊形AGBH是平行四邊形，則有BG=AH．易證OD∥AE，結合OA=OD可證到∠OAN=∠HAN，從而可證到△ANO≌△ANH，則有AO=AH，從而得到BG=1，然后在Rt△GBC中運用勾股定理即可求出BC的值．

解答：解：設AL與⊙O交于點D，與OH交于點N，連接OD，交BC于點M，連接CO并延長交⊙O于點G，連接GA、GB、AO，如圖所示，
∵CG是⊙O的直徑，∴∠CBG=∠CAG=90°，
∴BG⊥BC，AG⊥AC．
∵H為△ABC的垂心，
∴AE⊥BC，BF⊥AC，
∴AE∥BG，AG∥BF，
∴四邊形AGBH是平行四邊形，
∴BG=AH．
∵AL平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，
∴

BD

=

CD

，
根據垂徑定理的推論可得：OD⊥BC．
∵AE⊥BC，∴OD∥AE，
∴∠ODA=∠EAD．
∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD=∠EAD．
∵AL垂直于OH，
∴∠ANO=∠ANH=90°．
在△ANO和△ANH中，

∠OAN=∠HAN AN=AN ∠ANO=∠ANH

，
∴△ANO≌△ANH（ASA），
∴AO=AH，
∴BG=AH=AO=1．
在Rt△GBC中，
∵BG=1，GC=2，
∴BC=

GC2-BG2

=

3

．
故答案為：

3

．

點評：本題主要考查了三角形的外心、垂心、平行四邊形的判定與性質、垂徑定理的推論、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，證到四邊形AGBH是平行四邊形及△ANO≌△ANH是解決本題的關鍵．