Question

9．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD、DC上，且△BEF為等邊三角形．下列結(jié)論：①DE=DF；②∠AEB=75°；③AE+CF=EF；④BE=$\sqrt{2}$DE；⑤△EDF與△BFC的面積比為2：1．其中正確的結(jié)論有4個(gè)．

Answer 1

分析 先證明△ABE≌△CBF，得到AE=CF，∠ABE=∠CBF=15°可以推出①②④正確，設(shè)正方形邊長為b，DE=DF=a，則EF=BF=$\sqrt{2}$a，在RT△BCF中，利用BF²=BC²+CF²，求出a、b關(guān)系即可判定③錯(cuò)誤，⑤正確．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠D=90°，
∵△BEF是等邊三角形，
∴BE=BF=EF，∠EBF=60°，
在△ABE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{BE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF，
∴AE=CF，∠ABE=∠CBF，
∴DE=DF，故①正確，
∠ABE=∠CBF=$\frac{1}{2}$（（90°-60°）=15°，
∴∠AEB=90°-∠ABE=75°，故②正確，
∵DE=DF，∠D=90°，
∴∠DEF=∠DFE=45°，
∴EF=$\sqrt{2}$ED，
∴BE=$\sqrt{2}$DE，故④正確．
設(shè)正方形邊長為b，DE=DF=a，則EF=BF=$\sqrt{2}$a，
在RT△BCF中，
∵BF²=BC²+CF²，
∴2a²=b²+（b-a）²，
∴a²+2ab-2b²=0，
∴a=（-1±$\sqrt{3}$）b，
∵a＞O，
∴a=（$\sqrt{3}$-1）b，
∴AE=CF=（2-$\sqrt{3}$）b，
∵AE+CF≠b，故③錯(cuò)誤．
∵S_△DEF：S_△BCF=$\frac{1}{2}$[（$\sqrt{3}$-1）b]²：$\frac{1}{2}$•b•（2-$\sqrt{3}$）b=2，故⑤正確，
故答案為4．

點(diǎn)評 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，利用參數(shù)解決問題，把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考�？碱}型．