Question

5．已知函數(shù)y=x²-2ax+1（a為常數(shù)）在-2≤x≤1的最小值為n，試將n用a表示出來．

Answer 1

分析 可求得拋物線的對稱軸為x=a，再分a＜-2、-2≤a≤1和a＞1三種情況，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性分別求得函數(shù)的最小值，即可得到a與n的關(guān)系式．

解答 解：
∵y=x²-2ax+1=（x-a）²+1-a²，
∴函數(shù)的對稱軸方程為x=a，開口向上，
當a＜-2時，在-2≤x≤1上，y隨x的增大而增大，
∴當x=-2時，y有最小值，最小值為5+4a，即n=5+4a；
當-2≤a≤1時，在-2≤x≤1上，y有最小值1-a²，即n=1-a²；
當a＞1時，在-2≤x≤1上，y隨x的增大而減小，
∴當x=1時，y有最小值，最小值為2-2a，即n=2-2a；
綜上可知n=$\left\{\begin{array}{l}{5+4a（a＜-2）}\\{1-{a}^{2}（-2≤a≤1）}\\{2-2a（a＞1）}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的最值，掌握二次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，注意分類討論思想的應(yīng)用．