Question

12．已知如圖①，等腰直角△ABC中，E為斜邊AB上一點，過E點作EF⊥AB交BC于F，連接AF，G為AF中點．連接EG，CG．
（1）如果BE=2，∠BAF=30°，求EC，CG的長；
（2）將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45°，如圖②所示，取AF中點G，連接EG，CG，延長CG至M，使GM=GC，連接EM、EC，求證：△EMC是等腰直角三角形；
（3）將圖①中△BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，取AF中點G，再連接EG，CG，線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直的定義得到∠BEF=∠AEF=∠BCA=90°，由△ABC是等腰直角三角形，推出△BEF是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理得到BF=2$\sqrt{2}$，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到EG=CG，解直角三角形得到CF=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，如圖①，過E作EH⊥BF，連接CE，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）如圖②連接MF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠FMC=∠ACM，MF=CA，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠MFE=∠BEF=90°，等量代換得到BC=MF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE=ME，∠FEM=∠BEC，于是得到結(jié)論；
（3）如圖③，過F作FM∥AC交CG的延長線于M，連接CE，EM，過B作BN∥FM交ME于N，交EF于O，過F作FH⊥BN于H，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠FMG=∠ACG，由全等三角形的性質(zhì)得到AC=FM，CG=MG，等量代換得到FM=BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBN=∠ACB=∠MFH=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE=EM，∠BEC=∠FEM，推出△CEM是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵EF⊥AB，
∴∠BEF=∠AEF=∠BCA=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=BE=2，
∴BF=2$\sqrt{2}$，
∵G為AF中點，
∴EG=$\frac{1}{2}$AF，CG=$\frac{1}{2}$AF，
∴EG=CG，
∴EG=GF=GC=2，
∵∠BAF=30°，
∴AE=$\sqrt{3}$EF=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2+2$\sqrt{3}$，
∴BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∴CF=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
如圖①，過E作EH⊥BF，連接CE，
則EH=HF=$\frac{1}{2}$BF=$\sqrt{2}$，
∴CE=$\sqrt{E{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{6}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$；

（2）如圖②連接MF，
∵△BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45°，
∴∠EBC=90°，
∴EF∥BC，BE∥AC，
在△ACG與△FMG中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=FG}\\{∠AGC=∠FGM}\\{CG=MG}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△FMG，
∴∠FMC=∠ACM，MF=CA，
∴MF∥AC，
∴MF∥BE，
∴∠MFE=∠BEF=90°，
∴BC=MF，
在△BCE與△FME中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=EF}\\{∠EBC=∠EFM=90°}\\{BC=FM}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△FME，
∴CE=ME，∠FEM=∠BEC，
∵∠BEC+∠CEF=90°，
∴∠MEF+∠CEF=90°，
∴∠CEM=90°，
∴△EMC是等腰直角三角形；

（3）EG=CG，EG⊥CG，
理由：如圖③，過F作FM∥AC交CG的延長線于M，連接CE，EM，
過B作BN∥FM交ME于N，交EF于O，過F作FH⊥BN于H，
∵FM∥AC，
∴∠FMG=∠ACG，
在△ACG與△FMG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACG=∠FMG}\\{∠AGC=∠FGM}\\{AG=FG}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△FMG，
∴AC=FM，CG=MG，
∴FM=BC，
∵∠BEO=∠FHO=90°，∠BOE=∠FOH，
∴∠HFO=∠EBO，
∵BN∥FM∥AC，
∴∠CBN=∠ACB=∠MFH=90°，
∴∠EBC=∠EFM，
在△BCE與△FME中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=EF}\\{∠CBE=∠MFE}\\{BC=FM}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△FME，
∴CE=EM，∠BEC=∠FEM，
∵∠BEC+∠CEF=90°，
∴∠MEF+∠CEF=90°，
∴∠CEM=90°，
∴△CEM是等腰直角三角形，
∴EG=CG，EG⊥CG．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．