Question

4．已知x₁，x₂是方程x²-2x+a=0的兩個實數(shù)根，且x₁+2x₂=3-$\sqrt{2}$．則x₁³-3x₁²+2x₁+x₂的值為1．

Answer 1

分析 根據(jù)x₁，x₂是方程x²-2x+a=0的兩個實數(shù)根，得出x₁+x₂=2，再根據(jù)x₁+2x₂=3-$\sqrt{2}$，求出x₂和x₁，根據(jù)x₁x₂=a，求出a，最后根據(jù)x₁³-3x₁²+2x₁+x₂=x₁（x₁²-2x₁）-（x₁²-2x₁）+x₂，代入計算即可．

解答 解：∵x₁，x₂是方程x²-2x+a=0的兩個實數(shù)根，
∴x₁+x₂=2，
∵x₁+2x₂=3-$\sqrt{2}$，
∴x₂=1-$\sqrt{2}$，x₁=1+$\sqrt{2}$，
∴x₁x₂=a=-1，
∵x₁²-2x₁+a=0，
∴x₁²-2x₁=-a
∴x₁³-3x₁²+2x₁+x₂
=x₁³-2x₁²-x₁²+2x₁+x₂
=x₁（x₁²-2x₁）-（x₁²-2x₁）+x₂
=x₁•（-a）+a+x₂
=（x₁+x₂）-1
=2-1
=1．
故答案為：1

點評 此題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系：x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．