Question

14．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AD垂直與過點C的直線，垂足為D，AC平分∠BAD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）連接BC，若⊙O的半徑為3，BC=2$\sqrt{3}$，求$\frac{AD}{DC}$的值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，如圖，由AC平分∠BAD得到∠1=∠2，加上∠2=∠3，則∠1=∠3，于是可判斷OC∥AD，由于AD⊥CD，所以OC⊥CD，則可根據(jù)切線的判定定理得到CD是⊙O的切線；
（2）根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，則利用勾股定理可計算出AC=2$\sqrt{6}$，再證明Rt△ADC∽Rt△ACD，利用相似比得到$\frac{AD}{AC}$=$\frac{CD}{BC}$，然后利用比例的性質(zhì)求解．

解答 （1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵AC平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∵AB=6，BC=2$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∵∠1=∠2，
∴Rt△ADC∽Rt△ACD，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{CD}{BC}$，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．