Question

14．如圖，已知點(diǎn)A是雙曲線y=$\frac{2\sqrt{6}}{x}$在第一象限的分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AO并延長交另一分支于點(diǎn)B，以AB為邊作等邊三角形ABC，點(diǎn)C在第四象限內(nèi)，且隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的位置也不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＜0）上運(yùn)動(dòng)，則k的值是-6$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，$\frac{2\sqrt{6}}{a}$），連接OC，則OC⊥AB，表示出OC，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），在Rt△OCD中，在Rt△COD中利用勾股定理可得出x²的值，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答 解：如圖，設(shè)A（a，$\frac{2\sqrt{6}}{a}$）．
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴OA=OB．
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB⊥OC，OC=$\sqrt{3}$AO，
∵AO=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{24}{{a}^{2}}}$，
∴CO=$\sqrt{3{a}^{2}+\frac{72}{{a}^{2}}}$，
過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），
∵∠AOD=∠OCD=90°-∠COD，
∴tan∠AOD=tan∠OCD，即$\frac{\frac{2\sqrt{6}}{a}}{a}$=$\frac{x}{-y}$，
解得y=-$\frac{{a}^{2}}{2\sqrt{6}}$x．
在Rt△COD中，CD²+OD²=OC²，即y²+x²=3a²+$\frac{72}{{a}^{2}}$，
將y=-$\frac{{a}^{2}}{2\sqrt{6}}$x代入，可得：x²=$\frac{72}{{a}^{2}}$，
故x=$\frac{6\sqrt{2}}{a}$，y=-$\frac{{a}^{2}}{2\sqrt{6}}$x=-$\sqrt{3}$a，
則xy=-6$\sqrt{6}$，即k=-6$\sqrt{6}$．
故答案為：-6$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，等腰三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．