Question

19．通過計算發(fā)現(xiàn)：
15×15=225=1×2×100+25；
25×25=625=2×3×100+25；
35×35=1225=3×4×100+25；
（1）請根據(jù)上述發(fā)現(xiàn)，試填空：
45×45=2025=4×5×100+25；
（2）請你根據(jù)上述發(fā)現(xiàn)，寫出一般規(guī)律，并用整式的運算證明；
（3）請利用（2）中一般規(guī)律，計算1005×1005．

Answer 1

分析 （1）觀察前三個等式發(fā)現(xiàn)等式最后面100前面的兩個數(shù)為最前面因數(shù)十位數(shù)字以及十位數(shù)字加一，依此即可得出第四個等式；
（2）結(jié)合（1）即可得出一般規(guī)律式，再將其等式左邊展開，計算后得到等式右邊，由此即可證出該一般規(guī)律式成立；
（3）根據(jù)一般規(guī)律式可知當(dāng)?shù)仁阶筮厼?005×1005時，n值為100，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵15×15=225=1×2×100+25；25×25=625=2×3×100+25；35×35=1225=3×4×100+25；
∴45×45=2025=4×5×100+25．
故答案為：2025；4；5．
（2）∵15×15=225=1×2×100+25；25×25=625=2×3×100+25；
35×35=1225=3×4×100+25；45×45=2025=4×5×100+25；
∴一般規(guī)律式為（10n+5）²=100n（n+1）+25（n為自然數(shù)）．
證明：等式左邊=（10n+5）²，
=（10n）²+2×10n×5+5²，
=100n²+100n+25，
=100n（n+1）+25=等式右邊．
（3）1005×1005=（10×100+5）²=100×100×101+25=1010025．

點評 本題考查了規(guī)律型中數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)等式的變化找出第四個等式；（2）根據(jù)等式的變化找出等式變化的一般規(guī)律式；（3）根據(jù)規(guī)律式找出當(dāng)?shù)仁阶筮厼?005×1005時，n值為100．