Question

16．先閱讀下列材料，再解答后面的問題．
求1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰⁰的和．
解：設(shè)S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰⁰．①
將①式兩邊同時(shí)乘以2，得：
2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2¹⁰¹．　　 ②
②-①，得
2S-S=2¹⁰¹-1．
即           S=2¹⁰¹-1
所以1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰⁰=2¹⁰¹-1
問題解答：
（1）猜想1+2+2²+2³+…+2²⁰¹⁶的和，并寫出計(jì)算過程；
（2）求1+3²+3⁴+3⁶+3⁸+…+3²ⁿ的和（其中n為正整數(shù)）；
（3）記S_n=1+3²+3⁴+3⁶+3⁸+…+3²ⁿ（其中n為正整數(shù)），試說明：$\sqrt{\frac{8{S}_{2n}+1}{9}}$=$\frac{8{S}_{n}+1}{9}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可以求得題目中所求式子的值；
（2）根據(jù)題目中的信息，對(duì)所求式子變形即可解答本題；
（3）根據(jù)（2）中的結(jié)果分別化簡(jiǎn)所要證明的式子即可解答本題．

解答 解：（1）1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁶=2²⁰¹⁷-1．
設(shè)S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁶①
將①式兩邊同時(shí)乘以2，得：
2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2²⁰¹⁷②
②-①，得2S-S=2²⁰¹⁷-1．即 S=2²⁰¹⁷-1，
所以1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁶=2²⁰¹⁷-1；

（2）設(shè)S=1+3²+3⁴+3⁶+3⁸+…+3²ⁿ①
將①式兩邊同時(shí)乘以3²，得：9S=3²+3⁴+3⁶+3⁸+…+3²ⁿ⁺²②
②-①，得9S-S=3²ⁿ⁺²-1．即S=$\frac{{3}^{2n+2}-1}{8}$；
（3）由（2）可得，S_n=$\frac{{3}^{2n+2}-1}{8}$，S_2n=$\frac{{3}^{4n+2}-1}{8}$，
∴$\sqrt{\frac{8{S}_{2n}+1}{9}}=\sqrt{\frac{8×\frac{{3}^{4n+2}-1}{8}+1}{9}}$=$\sqrt{\frac{{3}^{4n+2}}{9}}$=$\frac{{3}^{2n+1}}{3}$，
$\frac{8{S}_{n}+1}{9}=\frac{8×\frac{{3}^{2n+2}-1}{8}+1}{9}=\frac{{3}^{2n+2}}{9}$=$\frac{{3}^{2n+1}}{3}$，
∴$\sqrt{\frac{8{S}_{2n}+1}{9}}$=$\frac{8{S}_{n}+1}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出數(shù)字的變化特點(diǎn)，明確實(shí)數(shù)運(yùn)算的方法．