Question

8．已知x₁，x₂是方程3x²-2x-7=0的兩個根，不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值：
（1）x₁²x₂+x₁x₂²；（2）（x₁-x₂）²；（3）（x₁+$\frac{1}{{x}_{2}}$）（x₂+$\frac{1}{{x}_{1}}$）；（4）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=$\frac{2}{3}$，x₁x₂=-$\frac{7}{3}$，再利用代數(shù)式變形得到x₁²x₂+x₁x₂²=x₁x₂（x₁+x₂），（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，（x₁+$\frac{1}{{x}_{2}}$）（x₂+$\frac{1}{{x}_{1}}$）=x₁x₂+2+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$，$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，然后分別利用整體代入的方法計算即可．

解答 解：x₁+x₂=$\frac{2}{3}$，x₁x₂=-$\frac{7}{3}$，
（1）x₁²x₂+x₁x₂²=x₁x₂（x₁+x₂）=-$\frac{7}{3}$×$\frac{2}{3}$=-$\frac{14}{9}$；
（2）（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（$\frac{2}{3}$）²-4×（-$\frac{7}{3}$）=$\frac{88}{9}$；
（3）（x₁+$\frac{1}{{x}_{2}}$）（x₂+$\frac{1}{{x}_{1}}$）=x₁x₂+2+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{7}{3}$+2-$\frac{3}{7}$=-$\frac{16}{21}$；
（4）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（\frac{2}{3}）^{2}-2×（-\frac{7}{3}）}{-\frac{7}{3}}$=-$\frac{46}{21}$．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．