Question

20．如圖，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC=2，BD平分∠ABC交AC于點D，則AD等于（　�。�

• A． $\sqrt{5}$-1
• B． $\frac{4}{3}$
• C． 1
• D． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出圖中的所有角，得到AD=BD=BC，易得△ABC∽△BCD，利用相似三角形的性質(zhì)得$\frac{BC}{CD}$=$\frac{AC}{BC}$，用等線段代換得$\frac{AD}{CD}$=$\frac{AC}{AD}$，則根據(jù)黃金分割的定義可判斷點D為AC的黃金分割點，所以AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AC=$\sqrt{5}$-1．

解答 解：∵AB=AC=2，
∴∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=$\frac{1}{2}$（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴DA=DB，
而∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BD=BC，
∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD，
∴$\frac{BC}{CD}$=$\frac{AC}{BC}$，即$\frac{AD}{CD}$=$\frac{AC}{AD}$，
∴點D為AC的黃金分割點，
∴AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AC=$\sqrt{5}$-1．
故選A．

點評 本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點．其中AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．