Question

5．如圖，DEFG為△ABC的內(nèi)接矩形，∠A=90°，D在AB上，G在AC上，EF在斜邊BC上，AB=3，AC=4．
（1）當矩形DEFG周長為$\frac{27}{4}$時，求BE，F(xiàn)C的長．
（2）當S_△DEB+S_△GFC=$\frac{25}{6}$時，求矩形DEFG的周長．

Answer 1

分析 根據(jù)勾股定理得到BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=5，于是得到△ABC三邊的比是：AB：AC：BC=3：4：5，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到DE=GF，DG∥BC，∠DEF=∠GFC=∠BED=∠GFE=90°，推出△ADG∽△BDE∽△CGF∽△ABC，于是得到△BDE與△CGF與△ADG的相似比都等于3：4：5，
（1）設AD=2x，BD=5y，則DG=5x，DE=4y，BE=3y，GF=DE=4y，CF=$\frac{16}{3}$y，根據(jù)已知條件列方程組即可得到結(jié)論，
（2）根據(jù)已知條件和三角形的面積公式列方程組即可得到結(jié)論．

解答 解：∵∠A=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=5，
∴△ABC三邊的比是：AB：AC：BC=3：4：5，
∵四邊形DEFG是矩形，
∴DE=GF，DG∥BC，∠DEF=∠GFC=∠BED=∠GFE=90°，
∴∠AGD=∠C，∠ADG=∠B，
∴△ADG∽△BDE∽△CGF∽△ABC，
∴△BDE與△CGF與△ADG的相似比都等于3：4：5，
（1）設AD=2x，BD=5y，則DG=5x，DE=4y，BE=3y，GF=DE=4y，CF=$\frac{16}{3}$y，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3x+5y=3}\\{5x+4y=\frac{27}{8}}\end{array}\right.$，解得：x=y=$\frac{3}{8}$，
∴BE=3y=$\frac{9}{8}$，CF=$\frac{16}{3}$y=2；

（2）∵AB=3，
設AD=2x，BD=5y，則DG=5x，DE=4y，BE=3y，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3x+5y=3}\\{\frac{1}{2}×3y•4y+\frac{1}{2}×4y•\frac{16}{3}y=\frac{25}{6}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{6}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴矩形DEFG的周長=2（5x+4y）=6．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，求三角形的面積和矩形的周長，正確的識別圖形是解題的關鍵．