Question

7．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，DC交BE于F，且AD：AB=1：3，AE=$\frac{1}{2}$EC，求證：
（1）△ADE∽△ABC；
（2）DF•BF=EF•CF．

Answer 1

分析 （1）利用“兩邊及夾角”法進行證明；
（2）根據(jù)（1）可得DE∥BC，由“平行線分線段成比例”進行證明即可．

解答 證明：（1）∵AE=$\frac{1}{2}$EC，
∴AE=$\frac{1}{3}$AC．
又∵AD：AB=1：3，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{3}$．
又∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC；

（2）由（1）知，$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，
∴DE∥BC，
∴$\frac{DF}{CF}$=$\frac{EF}{BF}$，
∴DF•BF=EF•CF．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．在證明第（2）題時，也可以利用“平行線法“推知△DEF∽△CBF，由該相似三角形的對應邊成比例證得結(jié)論．