Question

19．如圖，在平面直角坐標系中，OA=AB，∠OAB=90°，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過A，B兩點．若點A的坐標為（n，1），則k的值為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 作AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，過B點作BC⊥y軸于C，交AE于G，則AG⊥BC，先求得△AOE≌△BAG，得出AG=OE=n，BG=AE=1，從而求得B（n+1，1-n），根據(jù)k=n×1=（n+1）（1-n）得出方程，解方程即可．

解答 解：作AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，過B點作BC⊥y軸于C，交AE于G，如圖所示：
則AG⊥BC，
∵∠OAB=90°，
∴∠OAE+∠BAG=90°，
∵∠OAE+∠AOE=90°，
∴∠AOE=∠GAB，
在△AOE和△BAG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠GAB}&{\;}\\{∠AOE=∠AGB=90°}&{\;}\\{AO=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BAG（AAS），
∴OE=AG，AE=BG，
∵點A（n，1），
∴AG=OE=n，BG=AE=1，
∴B（n+1，1-n），
∴k=n×1=（n+1）（1-n），
整理得：n²+n-1=0，
解得：n=$\frac{-1\sqrt{5}}{2}$（負值舍去），
∴n=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴k=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、解方程等知識；熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，證明三角形全等是解決問題的關鍵．