Question

4．荊州市某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶(hù)進(jìn)行小龍蝦養(yǎng)殖．已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為6元，在整個(gè)銷(xiāo)售旺季的80天里，銷(xiāo)售單價(jià)p（元/千克）與時(shí)間第t（天）之間的函數(shù)關(guān)系為：
$p=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}t+16（1≤t≤40，t為整數(shù)）\\-\frac{1}{2}t+46（41≤t≤80，t為整數(shù)）\end{array}\right.$，日銷(xiāo)售量y（千克）與時(shí)間第t（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：
（1）求日銷(xiāo)售量y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式？
（2）哪一天的日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
（3）該養(yǎng)殖戶(hù)有多少天日銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于2400元？
（4）在實(shí)際銷(xiāo)售的前40天中，該養(yǎng)殖戶(hù)決定每銷(xiāo)售1千克小龍蝦，就捐贈(zèng)m（m＜7）元給村里的特困戶(hù)．在這前40天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷(xiāo)售利潤(rùn)隨時(shí)間t的增大而增大，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法求解可得；
（2）設(shè)日銷(xiāo)售利潤(rùn)為w，分1≤t≤40和41≤t≤80兩種情況，根據(jù)“總利潤(rùn)=每千克利潤(rùn)×銷(xiāo)售量”列出函數(shù)解析式，由二次函數(shù)的性質(zhì)分別求得最值即可判斷；
（3）求出w=2400時(shí)x的值，結(jié)合函數(shù)圖象即可得出答案；
（4）依據(jù)（2）中相等關(guān)系列出函數(shù)解析式，確定其對(duì)稱(chēng)軸，由1≤t≤40且銷(xiāo)售利潤(rùn)隨時(shí)間t的增大而增大，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．

解答 解：（1）設(shè)解析式為y=kt+b，
將（1，198）、（80，40）代入，得：
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=198}\\{80k+b=40}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=200}\end{array}\right.$，
∴y=-2t+200（1≤x≤80，t為整數(shù)）；

（2）設(shè)日銷(xiāo)售利潤(rùn)為w，則w=（p-6）y，
①當(dāng)1≤t≤40時(shí)，w=（$\frac{1}{4}$t+16-6）（-2t+200）=-$\frac{1}{2}$（t-30）²+2450，
∴當(dāng)t=30時(shí)，w_最大=2450；
②當(dāng)41≤t≤80時(shí)，w=（-$\frac{1}{2}$t+46-6）（-2t+200）=（t-90）²-100，
∴當(dāng)t=41時(shí)，w_最大=2301，
∵2450＞2301，
∴第30天的日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為2450元．

（3）由（2）得：當(dāng)1≤t≤40時(shí)，
w=-$\frac{1}{2}$（t-30）²+2450，
令w=2400，即-$\frac{1}{2}$（t-30）²+2450=2400，
解得：t1=20、t2=40，
由函數(shù)w=-$\frac{1}{2}$（t-30）²+2450圖象可知，當(dāng)20≤t≤40時(shí)，日銷(xiāo)售利潤(rùn)不低于2400元，

而當(dāng)41≤t≤80時(shí)，w最大=2301＜2400，
∴t的取值范圍是20≤t≤40，
∴共有21天符合條件．


（4）設(shè)日銷(xiāo)售利潤(rùn)為w，根據(jù)題意，得：
w=（$\frac{1}{4}$t+16-6-m）（-2t+200）=-$\frac{1}{2}$t²+（30+2m）t+2000-200m，
其函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為t=2m+30，
∵w隨t的增大而增大，且1≤t≤40，
∴由二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)可知2m+30≥40，
解得：m≥5，
又m＜7，
∴5≤m＜7．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)求函數(shù)解析式、由相等關(guān)系得出利潤(rùn)的函數(shù)解析式、利用二次函數(shù)的圖象解不等式及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．