Question

18．如圖，在鈍角△ABC中，分別以AB和AC為斜邊向△ABC的外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，F(xiàn)N平分∠AFC交AC于點N，D為BC的中點，DM∥AC交AB于點M，連接DE、DF、EF、EM．對于以下結論：①DM=FN；②S_{四邊形ACDM}=3S_△BDM；③DE=DF；④∠EFD=$\frac{1}{2}$∠EDF．其中正確結論的個數(shù)是
（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 ①正確．只要證明MD=$\frac{1}{2}$AC，F(xiàn)N=$\frac{1}{2}$AC即可．
②正確．由DM∥AC，推出△MBD∽ABC，由DM=$\frac{1}{2}$AC，推出S_△MBD=$\frac{1}{4}$S_△ABC，即可證明．
③正確．只要證明△EMD≌△DNF，即可推出DE=DF，
④正確．設DF與AC交于點K，由DM∥AC，推出∠AKF=∠MDF，即∠KFN+∠FNK=∠EDM+∠EDF，因為△EMD≌△DNF，∠FNK=90°，所以∠EDM=∠DFN，所以∠EDF=∠FNK=90°，即可證明．

解答 解：∵D是BC中點，DM∥AC
∴M是AB中點，
∴DM是△ABC的中位線，
∴DM∥AC，且DM=$\frac{1}{2}$AC；
∵三角形ABE是等腰直角三角形，F(xiàn)M平分∠AAFC交AC于點N，
∴N是AC的中點，
∴FN=$\frac{1}{2}$AC，
又∵DM=$\frac{1}{2}$AC，
∴DM=FN，
∴結論①正確；

∵DM∥AC，
∴△MBD∽ABC，
∵DM=$\frac{1}{2}$AC，
∴S_△MBD=$\frac{1}{4}$S_△ABC，
∴S_{四邊形AMDC}=3S_△MBD
∴結論②正確；

∵D是BC中點，DM∥AC，
∴M是AB中點，
∴DM是△ABC的中位線，
∴DM∥AC，且DM=$\frac{1}{2}$AC；
∵三角形ACF是等腰直角三角形，N是AC的中點，
∴FN=$\frac{1}{2}$AC，
又∵DM=$\frac{1}{2}$AC，
∴DM=FN，
∵DM∥AC，DN∥AB，
∴四邊形AMDN是平行四邊形，
∴∠AMD=∠AND，
又∵∠EMA=∠FNA=90°，
∴∠EMD=∠DNF，
在△EMD和△DNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EM=DN}\\{∠EMD=∠DNF}\\{MD=NF}\end{array}\right.$，
∴△EMD≌△DNF，
∴DE=DF，
∴結論③正確；

設DF與AC交于點K，
∵DM∥AC，
∴∠AKF=∠MDF，
∴∠KFN+∠FNK=∠EDM+∠EDF，
∵△EMD≌△DNF，∠FNK=90°
∴∠EDM=∠DFN，
∴∠EDF=∠FNK=90°，
∴DE⊥DF，
∴結論④正確．
∴正確的結論有4個：①②③④．
故選：D．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質的應用、三角形中位線定理的應用、等腰直角三角形的性質和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質．即：兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內切圓的直徑．