Question

7．如圖，AB為⊙O直徑，點(diǎn)D為AB下方⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C為弧ABD中點(diǎn)，連接CD，CA．
（1）求證：∠ABD=2∠BDC；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于H，交AD于E，求證：EA=EC；
（3）在（2）的條件下，若OH=5，AD=24，求線段DE的長(zhǎng)

Answer 1

分析 （1）如圖1，設(shè)∠BDC=α，∠DAC=β，根據(jù)圓周角定理得到∠CAB=∠BDC=α，連接AD，由AB為⊙O直徑，得到∠ADB=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)已知條件得到∠ACE=∠ADC，等量代換得到∠ACE=∠CAE，于是得到結(jié)論；
（3）如圖2，連接OC，根據(jù)圓周角定理得到∠COB=2∠CAB，等量代換得到∠COB=∠ABD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到OH=5，根據(jù)勾股定理得到AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=26，由相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，設(shè)∠BDC=α，∠DAC=β，
則∠CAB=∠BDC=α，
∵點(diǎn)C為弧ABD中點(diǎn)，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠ADC=∠DAC=β，
∴∠DAB=β-α，
連接AD，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
∴α+β=90°，
∴β=90°-α，
∴∠ABD=90°-∠DAB=90°-（β-α），
∴∠ABD=2α，
∴∠ABD=2∠BDC；
（2）∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAB=∠ADC+∠BDC=90°，
∵∠CAB=∠CDB，
∴∠ACE=∠ADC，
∵∠CAE=∠ADC，
∴∠ACE=∠CAE，
∴AE=CE；
（3）如圖2，連接OC，
∴∠COB=2∠CAB，
∵∠ABD=2∠BDC，∠BDC=∠CAB，
∴∠COB=∠ABD，
∵∠OHC=∠ADB=90°，
∴△OCH∽△ABD，
∴$\frac{OH}{BD}=\frac{OC}{AB}=\frac{1}{2}$，
∵OH=5，
∴BD=10，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=26，
∴AO=13，
∴AH=18，
∵△AHE∽△ADB，
∴$\frac{AH}{AD}=\frac{AE}{AB}$，即$\frac{18}{24}$=$\frac{AE}{26}$，
∴AE=$\frac{39}{2}$，
∴DE=$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．