Question

20．如圖，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，以直角邊AB為直徑作圓O，交斜邊AC于點D，連結(jié)BD．
（1）若AD=6，BD=8，求邊BC的長；
（2）取BC的中點E，連結(jié)ED，試證明ED與⊙O相切．

Answer 1

分析 （1）由AB為圓O的直徑，利用圓周角定理得到∠ADB為直角，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出AB的長，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由公共角相等，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形ABD與三角形ACB相似，由相似得比例求出BC的長即可；
（2）連接OD，OE，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到DE=BE，利用SSS得到三角形OBE與三角形ODE全等，利用全等三角形的對應(yīng)角相等得到∠ODE為直角，即可得證．

解答 （1）解：∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，AD=6，BD=8，
根據(jù)勾股定理得：AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵∠ABD+∠DBC=90°，∠A+∠C=90°，
∴∠ABD=∠C，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{BD}{BC}$，即$\frac{6}{10}$=$\frac{8}{BC}$，
解得：BC=$\frac{40}{3}$；
（2）證明：連接OD，OE，
在Rt△BDC中，E為BC的中點，
∴DE=BE=CE=$\frac{1}{2}$BC，
在△OEB和△OED中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OD}\\{OE=OE}\\{BE=DE}\end{array}\right.$，
∴△OEB≌△OED（SSS），
∴∠ODE=∠OBE=90°，
則DE與圓O相切．

點評 此題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．