Question

15．鄰邊不相等的平行四邊形紙片，剪去一個菱形，余下的一個四邊形，稱為第一次操作；在余下的四邊形紙片中再剪去一個菱形，又余下一個四邊形，稱為第二次操作；…依此類推，若第n次操作余下的四邊形是菱形，則稱原平行四邊形為n階準菱形，如圖1，?ABCD中，若AB=1，BC=2，則?ABCD為1階準菱形．
（1）猜想與計算：
鄰邊長分別為3和5的平行四邊形是3階準菱形；已知?ABCD的鄰邊長分別為a，b（a＞b），滿足a=8b+r，b=5r，請寫出?ABCD是12階準菱形．
（2）操作與推理：
小明為了剪去一個菱形，進行了如下操作：如圖2，把?ABCD沿BE折疊（點E在AD上），使點A落在BC邊上的點F處，得到四邊形ABFE．請證明四邊形ABFE是菱形．

Answer 1

分析 （1）利用平行四邊形準菱形的意義即可得出結論；
（2）先判斷出∠AEB=∠ABE，進而判斷出AE=BF，即可得出結論．

解答 解：（1）如圖1，

利用鄰邊長分別為3和5的平行四邊形進行3次操作，所剩四邊形是邊長為1的菱形，
故鄰邊長分別為3和5的平行四邊形是3階準菱形：
如圖2，

∵b=5r，
∴a=8b+r=40r+r=8×5r+r，
利用鄰邊長分別為41r和5r的平行四邊形進行8+4=12次操作，所剩四邊形是邊長為1的菱形，
故鄰邊長分別為41r和5r的平行四邊形是12階準菱形：
故答案為：3，12
（2）由折疊知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AE∥BF，
∴∠AEB=∠FBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB，
∴AE=BF，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴四邊形ABFE是菱形

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的性質，菱形的性質和判定，以及平行四邊形的準菱形的理解和應用，解（1）的關鍵是理解準菱形的意義，解（2）的關鍵是掌握判斷菱形的方法，是一道中考�？碱}．