Question

4．現(xiàn)有一張矩形紙片ABCD，要將點D沿某條直線EF翻折180°，恰好落在BC邊上的點D′處，直線EF與AD交于點E，與BC交于點F．
（1）請利用尺規(guī)作圖在圖中作出該直線EF；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）的條件下，在矩形ABCD中，若AD=10，AB=6，BD′=2，請計算紙片ABCD折疊后產生的折痕EF的長度．

Answer 1

分析 （1）連接DD′，作DD′的垂直平分線即可解決問題；
（2）在Rt△DD′C中，利用勾股定理求出DD′，再根據tan∠EDO=tan∠DD′C，可得$\frac{EO}{OD}$=$\frac{DC}{CD′}$，由此即可求出OE，只要證明OF=OE即可解決問題；

解答 解：（1）如圖，直線EF即為所求．
．

（2）設EF交DD′于O．
在Rt△DCD′中，∵∠DCD′=90°，DC=AB=6，CD′=BC-BD′=8，
∴DD′=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴OD=OD′=5，
∵AD∥BC，
∴∠EDO=∠DD′C，
∴tan∠EDO=tan∠DD′C，
∴$\frac{EO}{OD}$=$\frac{DC}{CD′}$，
∴$\frac{EO}{5}$=$\frac{8}{6}$，
∴EO=$\frac{20}{3}$，
∵$\frac{EO}{OF}$=$\frac{OD}{OD′}$=1，
∴OF=OE=$\frac{20}{3}$，
∴EF=$\frac{40}{3}$．

點評 本題考查軸對稱變換、矩形的性質、銳角三角函數、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．