Question

3．已知：四邊形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°，點E是邊BC延長線上一點，且∠CDE=∠ABD，連接AE交邊CD于點F．
（1）如圖1，求證：∠CBD=∠AED+∠DAE；
（2）如圖2，過點F作FM∥BC交AB于點M，交BD于點N，若CD=$\frac{4}{5}$DE，試探究線段AM和BN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）如圖1，要證∠CBD=∠AED+∠DAE，只需證∠CBD+∠ADE=180°，由于∠CDE=∠ABD，只需證∠ABC+∠ADC=180°，由于四邊形ABCD的內(nèi)角和等于360°，只需證到∠BAD+∠BCD=180°即可；
（2）連接AC，如圖2，由∠BAD+∠BCD=180°可得A、B、C、D四點共圓，根據(jù)圓周角定理可得∠ABD=∠ACD，從而可證到AC∥DE，即可得到△ACF∽△EDF，則有$\frac{AF}{EF}$=$\frac{CF}{DF}$．然后根據(jù)平行線分線段成比例可得到$\frac{AM}{BM}$=$\frac{AF}{EF}$，$\frac{BN}{DN}$=$\frac{CF}{DF}$，由此可推出$\frac{AM}{BN}$=$\frac{AB}{BD}$．易證△ABD∽△CDE，則有$\frac{AB}{BD}$=$\frac{CD}{DE}$=$\frac{4}{5}$，故$\frac{AM}{BN}$=$\frac{4}{5}$．

解答 解：（1）證明：∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠CBA+∠ADC=360°-180°=180°，
∴∠CBD+∠ABD+∠ADC=180°．
∵∠CDE=∠ABD，
∴∠CBD+∠CDE+∠ADC=180°，
∴∠CBD+∠ADE=180°．
∵∠AED+∠DAE+∠ADE=180°．
∴∠CBD=∠AED+∠DAE；

（2）$\frac{AM}{BN}$=$\frac{4}{5}$．
證明：連接AC，如圖2．
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴A、B、C、D四點共圓，
∴∠ABD=∠ACD．
∵∠CDE=∠ABD，
∴∠CDE=∠ACD，
∴AC∥DE，
∴△ACF∽△EDF，
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{CF}{DF}$．
∵FM∥BC，
∴根據(jù)平行線分線段成比例得：
$\frac{AM}{BM}$=$\frac{AF}{EF}$，$\frac{BN}{DN}$=$\frac{CF}{DF}$，
∴$\frac{AM}{BM}$=$\frac{BN}{DN}$，
∴$\frac{AM}{AB}$=$\frac{BN}{BD}$即$\frac{AM}{BN}$=$\frac{AB}{BD}$．
∵∠BAD+∠BCD=180°，∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠DCE．
∵∠ABD=∠CDE，
∴△ABD∽△CDE，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{CD}{DE}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{AM}{BN}$=$\frac{4}{5}$．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、四點共圓的判定、圓周角定理、平行線分線段成比例、等式的恒等變形、三角形內(nèi)角和定理、四邊形的內(nèi)角和定理等知識，有一定的難度，證到AC∥DE并運用平行線分線段成比例是解決第（2）小題的關(guān)鍵．