Question

4．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC于點(diǎn)B，AD=24cm，BC=26cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以3cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．
（1）當(dāng)t=6.5s時(shí)，四邊形APQB為矩形；
（2）若PQ=CD，求t的值；
（3）當(dāng)AB=8$\sqrt{5}$cm，在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形PQCD能構(gòu)成菱形．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，∠B=90°，可得當(dāng)AP=BQ時(shí)，四邊形ABQP是矩形，即可得方程：t=26-2t，解此方程即可求得答案．
（2）根據(jù)PQ=CD，一種情況是：四邊形PQCD為平行四邊形，可得方程24-t=3t，一種情況是：四邊形PQCD為等腰梯形，可求得當(dāng)QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，即3t-（24-t）=4時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形，解此方程即可求得答案；
（3）由菱形的性質(zhì)得出CD=CQ=PD，得出24-t=3t，解得：t=6，得出CD=CQ=18，作DM⊥BC于M，則AB=DM，BM=AD=24，得出CM=BC-BM=2，在Rt△CDM中，由勾股定理求出DM，即可得出答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：AP=tcm，CQ=3tcm，
∵AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，
∴DP=AD-AP=24-t（cm），BQ=26-3t（cm），
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴當(dāng)AP=BQ時(shí)，四邊形ABQP是矩形，
∴t=26-3t，
解得：t=6.5，
即當(dāng)t=6.5s時(shí)，四邊形ABQP是矩形；
故答案為：6.5；

（2）若PQ=CD，分兩種情況：
①PQ=DC，由（1）可知，t=6，
②PQ≠CC，由QC=PD+2（BC-AD），
可得方程：3t=24-t+4，
解得：t=7．

（3）若四邊形PQCD為菱形，則CD=CQ=PD，
∴24-t=3t，解得：t=6，
∴CD=CQ=18，
作DM⊥BC于M，如圖所示：
則AB=DM，BM=AD=24，
∴CM=BC-BM=2，
在Rt△CDM中，DM=$\sqrt{C{D}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{1{8}^{2}-{2}^{2}}$=8$\sqrt{5}$，
∴AB=8$\sqrt{5}$，即AB=8$\sqrt{5}$cm，
在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形PQCD能構(gòu)成菱形．
故答案為：8$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直角梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、矩形的判定形的判定．熟練掌握平行四邊形和矩形的判定，根據(jù)題意得出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．