Question

7．如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，點P在邊AD上以1cm/s的速度從點A向點D移動，（不與A、D重合），AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分別為點E、F（如圖1 ），
（1）求證：FC=AE+EF；
（2）過點P作PM∥FC交CD于點M（如圖2 ），存在時刻t，使DM=2cm嗎？若存在，求出時刻t；若不存在，請說明理由．
（3）在（2）的條件下，何時線段DM最長，并求出此時DM的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直定義得出∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，結(jié)合∠ABE=∠BCF，證明△ABE≌△BCF，可得AE=BF，于是AE²+CF²=BF²+CF²=BC²；
（2）證明△PDM∽△BAP，得出對應(yīng)邊成比例，得出方程，即可得出答案；
（3）設(shè)AP=t，則PD=4-t，由△PDM∽△BAP，得出關(guān)于t的二次函數(shù)，即可求出DM的最大值．

解答 （1）證明：∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAP=∠D=∠ABC=90°，
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，
∴∠ABE=∠BCF，
∵在△ABE和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠BFC}&{\;}\\{∠ABE=∠BCF}&{\;}\\{AB=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，BE=FC，
∵BE=BF+EF，
∴FC=AE+EF；
（2）解，不存在時刻t，使DM=2cm，理由如下：
∵PM∥FC，F(xiàn)C⊥BP，
∴∠BPM=90°，
∴∠APB+∠DPM=90°，
又∵∠ABP+∠APB=90°，
∴∠ABP=∠DPM，
∵∠BAP=∠D=90°，
∴△ABP∽△DPM，
∴$\frac{PA}{DM}=\frac{AB}{PD}$，即$\frac{t}{2}=\frac{4}{4-t}$，
整理得：t²-4t+8=0，
∵△=（-4）²-4×1×8=-16＜0，
∴此方程無解，
∴不存在時刻t，使DM=2cm．

（3）解：設(shè)AP=t，則PD=4-t，
由（2）得：△PDM∽△BAP，
∴$\frac{PA}{DM}=\frac{AB}{PD}$，
即$\frac{4-t}{DM}=\frac{4}{t}$，
∴DM═-$\frac{1}{4}$t²+t=-$\frac{1}{4}$（t-2）²+1，
∴當(dāng)t=2時，即點P是AD的中點時，DM有最大值為1．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值等知識；此題有一定的難度，是一道不錯的中考試題．