Question

6．在平行四邊形ABCD內(nèi)取一點，使得∠ABE=∠EDA，求證：∠BAE=∠BCE．

Answer 1

分析 作EF∥BC，CF∥BE，EF與CF相交于F，連接DF，則四邊形BEFC為平行四邊形，再由四邊形ABCD為平行四邊形，易證四邊形AEFD為平行四邊形，得出BE=CF，AE=DF，∠DEF=∠EDA，由SSS證得△ABE≌△DCF，得出∠BAE=∠CDF，∠ABE=∠DCF，證得∠DEF=∠DCF，則E、D、F、C四點共圓，推出∠CDF=∠CEF，即可得出結(jié)論．

解答 證明：作EF∥BC，CF∥BE，EF與CF相交于F，連接DF，如圖所示：
∵EF∥BC，CF∥BE，
∴四邊形BEFC為平行四邊形，
∴∠BCE=∠CEF，BC∥EF，BC=EF，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=CD，BC∥AD，BC=AD，
∴EF∥AD，EF=AD，
∴四邊形AEFD為平行四邊形，
∴BE=CF，AE=DF，∠DEF=∠EDA，
在△ABE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{AE=DF}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF（SSS），
∴∠BAE=∠CDF，∠ABE=∠DCF，
∵∠ABE=∠EDA，∠DEF=∠EDA，
∴∠DEF=∠DCF，
∴E、D、F、C四點共圓，
∴∠CDF=∠CEF，
∵∠BCE=∠CEF，∠BAE=∠CDF，
∴∠BAE=∠BCE．

點評 本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、四點共圓的判定與性質(zhì)等知識，通過作輔助線構(gòu)建平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵．