Question

14．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，以AB為直徑做⊙O分別交AC，BM于點(diǎn)D、E．
（1）求證：∠MDE=∠MED；
（2）填空：
①若AB=6，當(dāng)DM=2AD時(shí)，DE=4；
②連接OD、OE，當(dāng)∠C的度數(shù)為30°時(shí)，四邊形ODME是菱形．

Answer 1

分析 （1）由于∠ABC=90°，M是AC的中點(diǎn)，BM=AM=MC，從而可知∠A=∠ABM，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得出∠MDE=∠MED；
（2）①由（1）可知，∠A=∠MDE，由于DE∥AB，所以$\frac{DE}{AB}=\frac{MD}{MA}$，又因?yàn)镈M=2AD，從而可求出DE的長度；
②當(dāng)∠C=30°時(shí)，此時(shí)∠A=60°，所以△AOD是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)即可證明OD=OE=EM=DM，從而可知四邊形OEMD是菱形．

解答 （1）證明：∵∠ABC=90°，M是AC的中點(diǎn)，
∴BM=AM=MC，
∴∠A=∠ABM，
∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ADE+∠ABE=180°，
又∠ADE+∠MDE=180°，
∴∠MDE=∠MBA，
同理證明：∠MED=∠A，
∴∠MDE=∠MED，
（2）①4，
由（1）可知，∠A=∠MDE，
∴DE∥AB，
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{MD}{MA}$
∵DM=2AD，
∴DM：MA=2：3，
∴DE=$\frac{2}{3}$AB=$\frac{2}{3}$×6=4．
②當(dāng)∠C=30°時(shí)，四邊形ODME是菱形．
連接OD、OE，
∵OA=OD，∠A=60°，
∴△AOD是等邊三角形，
∴∠AOD=60°，
∵DE∥AB，
∴∠ODE=∠AOD=60°，∠MDE=∠MED=∠A=60°，
∴△ODE，△DEM都是等邊三角形，
∴OD=OE=EM=DM，
∴四邊形OEMD是菱形．
故答案為：（2）①4；②30°

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合問題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，綜合程度較高，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)．