Question

8．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OAB的頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A（0，5），B（3，1），過(guò)點(diǎn)B畫(huà)BC⊥AB交直線y=-m（m＞$\frac{5}{4}$）于點(diǎn)C，連結(jié)AC，以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑畫(huà)弧交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)D，連結(jié)AD、CD．
（1）求證：△ABC≌△AOD；
（2）設(shè)△ACD的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若四邊形ABCD恰有一組對(duì)邊平行，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出AB=5，則AB=OA，則可根據(jù)“HL”證明△ABC≌△AOD；
（2）過(guò)點(diǎn)B作直線BE⊥直線y=-m于E，作AF⊥BE于F，如圖，證明Rt△ABF∽R(shí)t△BCE，利用相似比可得BC=$\frac{5}{3}$（m+1），再在Rt△ACB中，由勾股定理得AC²=AB²+BC²=25+$\frac{25}{9}$（m+1）²，然后證明△AOB∽△ACD，利用相似的性質(zhì)得$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△ACD}}$=（$\frac{AB}{AC}$）²，而S_△AOB=$\frac{15}{2}$，于是可得S=$\frac{5}{6}$（m+1）²+$\frac{15}{2}$（m＞$\frac{5}{4}$）；
（3）作BH⊥y軸于H，如圖，分類討論：當(dāng)AB∥CD時(shí)，則∠ACD=∠CAB，由△AOB∽△ACD得∠ACD=∠AOB，所以∠CAB=∠AOB，利用三角函數(shù)得到tan∠AOB=3，tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{3}{m+1}$，所以$\frac{3}{m+1}$=3；當(dāng)AD∥BC，則∠5=∠ACB，由△AOB∽△ACD得到∠4=∠5，則∠ACB=∠4，根據(jù)三角函數(shù)定義得到tan∠4=$\frac{3}{4}$，tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{3}{m+1}$，則$\frac{3}{m+1}$=$\frac{3}{4}$，然后分別解關(guān)于m的方程即可得到m的值．

解答 （1）證明：∵A（0，5），B（3，1），
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+（5-1）^{2}}$=5，
∴AB=OA，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC和Rt△AOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AO}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABC≌Rt△AOD；
（2）解：過(guò)點(diǎn)B作直線BE⊥直線y=-m于E，作AF⊥BE于F，如圖，∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴Rt△ABF∽R(shí)t△BCE，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{AF}{BE}$，即$\frac{5}{BC}$=$\frac{3}{m+1}$，
∴BC=$\frac{5}{3}$（m+1），
在Rt△ACB中，AC²=AB²+BC²=25+$\frac{25}{9}$（m+1）²，
∵△ABC≌△AOD，
∴∠BAC=∠OAD，即∠4+∠OAC=∠OAC+∠5，
∴∠4=∠5，
而AO=AB，AD=AC，
∴△AOB∽△ACD，
∴$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△ACD}}$=（$\frac{AB}{AC}$）²=$\frac{25}{25+\frac{25}{9}（m+1）^{2}}$，
而S_△AOB=$\frac{1}{2}$×5×3=$\frac{15}{2}$，
∴S=$\frac{5}{6}$（m+1）²+$\frac{15}{2}$（m＞$\frac{5}{4}$）；
（3）作BH⊥y軸于H，如圖，
當(dāng)AB∥CD時(shí)，則∠ACD=∠CAB，
而△AOB∽△ACD，
∴∠ACD=∠AOB，
∴∠CAB=∠AOB，
而tan∠AOB=$\frac{BH}{OH}$=3，tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{5}{\frac{5}{3}（m+1）}$=$\frac{3}{m+1}$
∴$\frac{3}{m+1}$=3，解得m=8；
當(dāng)AD∥BC，則∠5=∠ACB，
而△AOB∽△ACD，
∴∠4=∠5，
∴∠ACB=∠4，
而tan∠4=$\frac{BH}{AH}$=$\frac{3}{4}$，tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{3}{m+1}$
∴$\frac{3}{m+1}$=$\frac{3}{4}$，
解得m=3．
綜上所述，m的值為3或8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似形的綜合題：熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)；合理添加輔助線構(gòu)造相似圖形，然后利用相似的性質(zhì)計(jì)算相應(yīng)線段的長(zhǎng)；同時(shí)會(huì)利用勾股定理和三角函數(shù)的定義進(jìn)行幾何計(jì)算；學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．