Question

12．如圖，⊙O中，直徑CD⊥弦AB于M，AE⊥BD于E，交CD于N，連AC．
（1）求證：AC=AN
（2）若OM：OC=3：5，AB=5，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接AC，根據(jù)圓周角定理及直角三角形的性質(zhì)得出∠BDC=∠EAB=∠BAC，再由ASA定理得出△AMN≌△AMC，進而可得出結(jié)論；
（2）連接OA，設(shè)OM=3x，OC=5x，根據(jù)勾股定理求出x的值，進而可得出結(jié)論．

解答 解：（1）連接AC，
∵∠AED=∠AMO=90°，
∴∠BDC=∠EAB=∠BAC．
∵AM⊥OC，
∴∠AMC=∠AMN．
在△AMN與△AMC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠BAC}\\{AM=AM}\\{∠AMN=∠AMC}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△AMC（ASA），
∴AC=AN；

（2）連接OA，設(shè)OM=3x，OC=5x，
∴OA=5x，AM=4x，
∵AB=5，
∴4x=$\frac{5}{2}$，x=$\frac{5}{8}$，
∴r=5x=$\frac{25}{8}$．

點評 本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．