Question

11．二次函數(shù)y=x²-2x-3的圖象與x軸從左到右兩個(gè)交點(diǎn)依次為A、B，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如果P是該拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，試求出使PA+PC最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)解方程x²-2x-3=0即可得到A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，然后求當(dāng)x=0時(shí)的函數(shù)值即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性可得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，連結(jié)BC交直線x=1于P點(diǎn)，利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)的點(diǎn)P使PA+PC最小，接著利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，然后求直線BC與直線x=1的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）令y=0，即x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=-3，
∴A（-1，0），B（3，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=x²-2x-3=-3，
∴C（0，-3）；
（2）∵A（-1，0），B（3，0），
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，
連結(jié)BC交直線x=1于P點(diǎn)，
∵PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC=BC，
∴點(diǎn)P使PA+PC最小，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（3，0），C（0，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=x-3，
當(dāng)x=1時(shí)，y=x-3=1-3=-2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了關(guān)于最短路徑問(wèn)題的解決方法．