Question

12．小敏與同桌小穎在課下學(xué)習(xí)中遇到這樣一道數(shù)學(xué)題：“如圖（1），在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED=EC，試確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由”．小敏與小穎討論后，進行了如下解答：

（1）取特殊情況，探索討論：當(dāng)點E為AB的中點時，如圖（2），確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你寫出結(jié)論：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”），并說明理由．
（2）特例啟發(fā)，解答題目：
解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如圖（3），過點E作EF∥BC，交AC于點F．（請你將剩余的解答過程完成）
（3）拓展結(jié)論，設(shè)計新題：在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED=EC，若△ABC的邊長為1，AE=2，求CD的長（請你畫出圖形，并直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)E為中點時，過E作EF∥BC交AC于點F，則可證明△BDE≌△FEC，可得到AE=DB；
（2）類似（1）過E作EF∥BC交AC于點F，可利用AAS證明△BDE≌△FEC，可得BD=EF，再證明△AEF是等邊三角形，可得到AE=EF，可得AE=DB；
（3）分兩種情況：點E在AB上和在BA的延長線上，類似（2）證得全等，再利用平行得到．

解答 解：（1）AE=DB，理由如下：
∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD                    
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∵點E為AB的中點，
∴∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
∴∠EDC=30°，
∴∠D=∠DEB=30°，
∴DB=BE，
∵AE=BE，
∴AE=DB；
故答案為：=；
（2）如圖3，∵△ABC為等邊三角形，且EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∠FEC=∠ECB；
∴∠EFC=∠DBE=120°；                            
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECB，∠D=∠FEC，
在△EFC與△DBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FEC=∠D}&{\;}\\{∠EFC=∠DBE}&{\;}\\{EC=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EFC≌△DBE（AAS），
∴EF=DB；
∵∠AEF=∠AFE=60°，
∴△AEF為等邊三角形，
∴AE=EF，
∴AE=BD．                                     
（3）①如圖4，當(dāng)點E在AB的延長線上時，
過點E作EF∥BC，交AC的延長線于點F；
則∠DCE=∠CEF，∠DBE=∠AEF；
∠ABC=∠AEF，∠ACB=∠AFE；
∵△ACB為等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEF=∠AFE=60°，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DBE=∠EFC；而ED=EC，
∴∠D=∠DCE，∠D=∠CEF；
在△FEC和△BDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FEC=∠D}&{\;}\\{∠EFC=∠DBE}&{\;}\\{EC=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EFC≌△DBE（AAS），
∴EF=BD；
∵△AEF為等邊三角形，
∴AE=EF=2，BD=EF=2，
∴CD=1+2=3；                            
②如圖5，當(dāng)點E在BA的延長線上時，過點E作EF∥BC，交CA的延長線于點F；
類似上述解法，同理可證：DB=EF=2，BC=1，
∴CD=2-1=1．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．