Question

15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)P（x，y），我們把點(diǎn)P′（$\frac{1}{x}$，$\frac{1}{y}$）稱為點(diǎn)P的“倒影點(diǎn)”，直線y=-x+1上有兩點(diǎn)A，B，它們的倒影點(diǎn)A′，B′均在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上．若AB=2$\sqrt{2}$，則k=-$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)A（a，-a+1），B（b，-b+1）（a＜b），則A′（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{1-a}$），B′（$\frac{1}$，$\frac{1}{1-b}$），由AB=2$\sqrt{2}$可得出b=a+2，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于k、a、b的方程組，解之即可得出k值．

解答 解：設(shè)點(diǎn)A（a，-a+1），B（b，-b+1）（a＜b），則A′（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{1-a}$），B′（$\frac{1}$，$\frac{1}{1-b}$），
∵AB=$\sqrt{（b-a）^{2}+[（-b+1）-（-a+1）]^{2}}$=$\sqrt{2（b-a）^{2}}$=$\sqrt{2}$（b-a）=2$\sqrt{2}$，
∴b-a=2，即b=a+2．
∵點(diǎn)A′，B′均在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=a+2}\\{k=\frac{1}{a（1-a）}=\frac{1}{b（1-b）}}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{4}{3}$．
故答案為：-$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及兩點(diǎn)間的距離公式，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征列出關(guān)于k、a、b的方程組是解題的關(guān)鍵．