Question

10．如圖，正六邊形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的邊長為1，它的六條對(duì)角線又圍成一個(gè)正六邊形A₂B₂C₂D₂E₂F₂，如此繼續(xù)下去，則正六邊形A₄B₄C₄D₄E₄F₄的面積是$\frac{\sqrt{3}}{18}$．

Answer 1

分析 由正六邊形的性質(zhì)得：∠A₁B₁B₂=90°，∠B₁A₁B₂=30°，A₁A₂=A₂B₂，由直角三角形的性質(zhì)得出B₁B₂=$\frac{1}{\sqrt{3}}$A₁B₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，A₂B₂=$\frac{1}{2}$A₁B₂=B₁B₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由相似多邊形的性質(zhì)得出正六邊形A₂B₂C₂D₂E₂F₂的面積：正六邊形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的面積=$\frac{1}{3}$，求出正六邊形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的面積=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，得出正六邊形A₂B₂C₂D₂E₂F₂的面積，同理得出正六邊形A₄B₄C₄D₄E₄F₄的面積．

解答 解：由正六邊形的性質(zhì)得：∠A₁B₁B₂=90°，∠B₁A₁B₂=30°，A₁A₂=A₂B₂，
∴B₁B₂=$\frac{1}{\sqrt{3}}$A₁B₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴A₂B₂=$\frac{1}{2}$A₁B₂=B₁B₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵正六邊形A₁B₁C₁D₁E₁F₁∽正六邊形A₂B₂C₂D₂E₂F₂，
∴正六邊形A₂B₂C₂D₂E₂F₂的面積：正六邊形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的面積=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{1}{3}$，
∵正六邊形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的面積=6×$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴正六邊形A₂B₂C₂D₂E₂F₂的面積=$\frac{1}{3}$×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
同理：正六邊形A₄B₄C₄D₄E₄F₄的面積=（$\frac{1}{3}$）³×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{18}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{18}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正六邊形的性質(zhì)、相似多邊形的性質(zhì)、正六邊形面積的計(jì)算等知識(shí)；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，由相似多邊形的性質(zhì)得出規(guī)律是關(guān)鍵．