Question

15．在等邊三角形△ABC中，BC=6，點(diǎn)D是邊AC上動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A，C不重合），連接BD，將BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BE，連接BD，AE．
（1）求證：△BCD≌△BAE；
（2）求證：△AED的周長(zhǎng)=AC+BD；
（3）直接寫出△ADE周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=AC=BC=6，∠ABC=60°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出BE=BD，∠DBE=∠ABC=60°，求出∠ABE=∠CBD，根據(jù)全等三角形的判定得出即可；
（2）求出△BDE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出ED=BD，即可得出答案；
（3）根據(jù)垂線段最短，得出BD⊥AC時(shí)最短，求出此時(shí)BD的長(zhǎng)即可．

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC=6，∠ABC=60°，
∵將BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BE，
∴BE=BD，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠ABE=∠CBD=60°-∠ABD，
在△BCD和△BAE中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BE}\\{∠CBD=∠ABE}\\{BC=BA}\end{array}\right.$
∴△BCD≌△BAE（SAS）；

（2）證明：∵BE=BD，∠DBE=60°，
∴△BDE是等邊三角形，
∴ED=BD，
∵△BCD≌△BAE，
∴CD=AE，
∴△AED的周長(zhǎng)=AD+AE+DE=AD+CD+BD=AC+BD；

（3）解：△ADE周長(zhǎng)的最小值是6+3$\sqrt{3}$，
理由是：∵△AED的周長(zhǎng)=AC+BD=6+BD，
當(dāng)BD最短時(shí)，△AED的周長(zhǎng)最小，
根據(jù)垂線段最短，得出BD⊥AC時(shí)最短，
由勾股定理得出此時(shí)BD=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
即△ADE周長(zhǎng)的最小值是6+3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，最值問題的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．