Question

4．已知：如圖（1），在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）如圖（2），若AD=AF，延長AE、DC交于點G，求證：AF²=AG•DF；
（3）在第（2）小題的條件下，連接BD，交AG于點H，若HE=4，EG=12，求AH的長．

Answer 1

分析 （1）通過AAS證得△AEB≌△AFD，則其對應(yīng)邊相等：AB=AD，所以“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”；
（2）欲證明AF²=AG•DF，需要通過相似三角形△GAD∽△AFD的對應(yīng)邊成比例得到AD=AF，則AF²=AG•DF；
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行線分線段成比例得到：AH：HG=BH：HD，BH：HD=EH：AH，故AH：HG=EH：AH．把相關(guān)線段的長度代入來求AH的長度即可．

解答 （1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B=∠D．
∵∠AEC=∠AFC，∠AEC+∠AEB=∠AFC+∠AFD=180°，
∴∠AEB=∠AFD．
在△AEB和△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠D}\\{∠AEB=∠AFD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AFD（AAS）
∴AB=AD，
∴平行四邊形ABCD是菱形；

（2）由（1）知，△AEB≌△AFD，則∠BAE=∠DAF．
如圖2，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DG，
∴∠BAE=∠G，
∴∠G=∠DAF．
又∵∠ADF=∠GDA，
∴△GAD∽△AFD，
∴DA：DF=DG：DA，
∴DA²=DG•DF．
∵DG：DA=AG：FA，且AD=AF，
∴DG=AG．
又∵AD=AF，
∴AF²=AG•DF；

（3）如圖2，在菱形ABCD中，∵AB∥DC，AD∥BC，
∴AH：HG=BH：HD，BH：HD=EH：AH，
∴AH：HG=EH：AH．
∵HE=4，EG=12，
∴AH：16=4：AH，
∴AH=8．

點評 本題考查了相似綜合題．此題綜合性比較強，其中涉及到了菱形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題時，需要弄清楚相似三角形的對應(yīng)邊與對應(yīng)角，以防弄錯．