Question

11．如圖，面積為24的正方形ABCD中，有一個小正方形EFGH，其中E、F、G分別在AB、BC、FD上．若BF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，則小正方形的周長為$\frac{5\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 先利用勾股定理求出DF，再根據(jù)△BEF∽△CFD，得出$\frac{EF}{DF}$=$\frac{BF}{DC}$，求出EF即可解決問題．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，面積為24，
∴BC=CD=2$\sqrt{6}$，∠B=∠C=90°，
∵四邊形EFGH是正方形，
∴∠EFG=90°，
∵∠EFB+∠DFC=90°，∠BEF+∠EFB=90°，
∴∠BEF=∠DFC，
∵∠EBF=∠C=90°，
∴△BEF∽△CFD，
∴$\frac{EF}{DF}$=$\frac{BF}{DC}$，
∵BF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，CF=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，DF=$\sqrt{C{D}^{2}+C{F}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{6}}{2}$，
∴$\frac{EF}{\frac{5\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴EF=$\frac{5\sqrt{6}}{8}$，
∴小正方形的周長為$\frac{5\sqrt{6}}{2}$；
故答案為：$\frac{5\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，正確尋找相似三角形，得出△BEF∽△CFD是解題的關(guān)鍵．