Question

8．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，BC=16，DC=12，AD=21．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)Q隨之停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形？
（2）記PQ與DB的交點(diǎn)為M，問(wèn)：在點(diǎn)P整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)M的位置是否會(huì)發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)AP=BQ時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形，據(jù)此即可列方程求得；
（2）首先證明△QBM∽△PMD，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，求得BD和BM的長(zhǎng)，即可求解；
（3）證明△QBM∽△DBC，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等求得．

解答 解：（1）依題意得：t=21-2t，
解得：t=7．
答：當(dāng)t=7時(shí)，四邊形ABQP是平行四邊形；
（2）如圖，∵BQ∥PD
∴∠QBM=∠PDM，
又∵∠QMB=∠PMD，
∴△QBM∽△PMD，
∴$\frac{BM}{MD}=\frac{BQ}{PD}$．
又∵BQ=t，PD=2t
∴$\frac{BM}{MD}=\frac{1}{2}$．
在Rt△BDC中，BC=16，DC=12，
∴BD=20，
∴BM=$\frac{20}{3}$（定值）
∴在點(diǎn)P整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)M的位置不會(huì)發(fā)生改變．
（3）∵PQ⊥BD∠DCB=90°
∴∠BMQ=∠C，
又∵∠MBQ=∠CBD，
∴△QBM∽△DBC．
∴$\frac{BQ}{BD}=\frac{BM}{BC}$
由（2）可知，
∴BM=$\frac{20}{3}$，
∴$\frac{t}{20}=\frac{{\frac{20}{3}}}{16}$，
解得：t=$\frac{5}{6}$．
答：當(dāng)t=$\frac{5}{6}$時(shí)，使得PQ⊥BD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的判定與相似三角形的判定與性質(zhì)，理解△QBM∽△PMD，△QBM∽△DBC是解題的關(guān)鍵．