Question

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一正方形AOBC，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過正方形AOBC對角線的交點，半徑為4-2$\sqrt{2}$的圓內(nèi)切于△ABC，則k的值為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． 4
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AD=BD=DO=CD，NO=DN，HQ=QE，HC=CE，進而根據(jù)半徑為（4-2$\sqrt{2}$）的圓內(nèi)切于△ABC，得出CD的長，從而得出DO的長，再利用勾股定理得出DN的長進而得出k的值．

解答 解：設(shè)正方形對角線交點為D，過點D作DM⊥AO于點M，DN⊥BO于點N；
設(shè)圓心為Q，切點為H、E，連接QH、QE．
∵在正方形AOBC中，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過正方形AOBC對角線的交點，
∴AD=BD=DO=CD，NO=DN，HQ=QE，HC=CE，
QH⊥AC，QE⊥BC，∠ACB=90°，
∴四邊形HQEC是正方形，
∵半徑為（4-2$\sqrt{2}$）的圓內(nèi)切于△ABC，
∴DO=CD，
∵HQ²+HC²=QC²，
∴2HQ²=QC²=2×（4-2$\sqrt{2}$）²，
∴QC²=48-32$\sqrt{2}$=（4$\sqrt{2}$-4）²，
∴QC=4$\sqrt{2}$-4，
∴CD=4$\sqrt{2}$-4+（4-2$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$，
∴DO=2$\sqrt{2}$，
∵NO²+DN²=DO²=（2$\sqrt{2}$）²=8，
∴2NO²=8，
∴NO²=4，
∴DN×NO=4，
即：xy=k=4．
故選C．

點評 此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，根據(jù)已知求出CD的長度，進而得出DN×NO=4是解決問題的關(guān)鍵．