Question

1．如圖，在△ABC中，以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)G，且D是BC中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，交AC的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）若CF=3，cosA=0.4，求出⊙O的半徑和BE的長；
（3）連接CG，在（2）的條件下，求CG：EF的值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD．先證明OD是△ABC的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)得到OD∥AB，再由DE⊥AB，得出OD⊥EF，根據(jù)切線的判定即可得出直線EF是⊙O的切線；
（2）由三角函數(shù)求出半徑，再由三角函數(shù)求出AE，即可得出答案；
（3）證明CG∥EF，得出比例式，即可得出答案．

解答 （1）證明：如圖，連結(jié)OD．
∵CD=DB，CO=OA，
∴OD是△ABC的中位線，
∴OD∥AB，AB=2OD，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，即OD⊥EF，
∴直線EF是⊙O的切線．

（2）解：∵OD∥AB，
∴∠COD=∠A．
在Rt△DOF中，∵∠ODF=90°，
∴cos∠FOD=$\frac{OD}{OF}$=0.4，
設(shè)⊙O的半徑為R，$\frac{OD}{OF}$=0.4，則$\frac{R}{R+3}$=0.4，
解得R=2，
∴AB=2OD=4．
在Rt△AEF中，∵∠AEF=90°，
∴cos∠A=$\frac{AE}{AF}=\frac{AE}{3+4}$=0.4，
∴AE=$\frac{14}{5}$，
∴BE=AB-AE=4-$\frac{14}{5}$=$\frac{6}{5}$；

（3）解：連接CG，則∠AGC=90^?，
∵DE⊥AB，
∴∠AEF=90^?，
∴CG∥EF，
∴$\frac{CG}{EF}=\frac{AC}{AF}=\frac{2R}{2R+3}$=$\frac{2×2}{2×2+3}$=$\frac{4}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定，解直角三角形，三角形中位線的性質(zhì)知識點(diǎn)．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連結(jié)圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．