Question

1．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，CA平分∠BCD，∠B=60°，如果AD=3，那么梯形ABCD的周長為15．

Answer 1

分析 過點A作AE∥CD，交BC于點E，可得出四邊形ADCE是平行四邊形，再根據(jù)等腰梯形的性質及平行線的性質得出∠AEB=∠BCD=60°，由三角形外角的定義求出∠EAC的度數(shù)，故可得出四邊形ADEC是菱形，再由等邊三角形的判定定理得出△ABE是等邊三角形，由此可得出結論．

解答 解：過點A作AE∥CD，交BC于點E，
∵梯形ABCD是等腰梯形，∠B=60°，
∴AD∥BC，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∴∠AEB=∠BCD=60°，
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACE=$\frac{1}{2}$∠BCD=30°，
∵∠AEB是△ACE的外角，
∴∠AEB=∠ACE+∠EAC，即60°=30°+∠EAC，
∴∠EAC=30°，
∴AE=CE=3，
∴四邊形ADEC是菱形，
∵△ABE中，∠B=∠AEB=60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴AB=BE=AE=3，
∴梯形ABCD的周長=AB+（BE+CE）+CD+AD=3+3+3+3+3=15．
故答案為：15．

點評 本題考查的是等腰梯形的性質，根據(jù)題意作出輔助線，構造出平行四邊形是解答此題的關鍵．