Question

10．如圖，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，AB=3，BC=5，P是折線BAC上動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），過(guò)P作BC的垂線l交BC于D，連接AD．當(dāng)△ACD是等腰三角形時(shí)，BP的長(zhǎng)是$\frac{12}{5}$或$\frac{\sqrt{7291}}{25}$．

Answer 1

分析 作AE⊥BC于E，由等腰三角形的性質(zhì)得出BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$，分兩種情況：①當(dāng)DC=AC=3時(shí)，BD=BC-DC=2，證出PD∥AE，得出△PBD∽BE，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)果；
②當(dāng)DA=DC時(shí)，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C=∠DAC，證出△DAC∽△ABC，得出比例式求出DC，得出BD，再證明△PBD∽△ABE，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)果．

解答 解：作AE⊥BC于E，如圖所示：
∵AB=AC，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$，
分兩種情況：
①當(dāng)DC=AC=3時(shí)，BD=BC-DC=5-3=2，
∵PD⊥BC，
∴PD∥AE，
∴△PBD∽△ABE，
∴$\frac{BP}{AB}=\frac{BD}{BE}$，即$\frac{BP}{3}=\frac{2}{\frac{5}{2}}$，
解得：BP=$\frac{12}{5}$；
②當(dāng)DA=DC時(shí)，∠C=∠DAC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=∠C=∠DAC，
∴△DAC∽△ABC，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{DC}{AC}$，即$\frac{3}{5}=\frac{DC}{3}$，
解得：DC=$\frac{9}{5}$，
∴BD=BC-DC=5-$\frac{9}{5}$=$\frac{16}{5}$，
∵PD⊥BC，
∴PD∥AE，
∴△PCD∽△ACE，
∴$\frac{PD}{AE}=\frac{DC}{EC}$，即$\frac{PD}{AE}=\frac{\frac{9}{5}}{\frac{5}{2}}$，
解得：PD=$\frac{9\sqrt{11}}{25}$，
∴PB=$\sqrt{B{D}^{2}+P{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7291}}{25}$；
故答案為：$\frac{12}{5}$或$\frac{\sqrt{7291}}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形相似得出比例式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，注意分類討論．