Question

6．定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．
（1）請寫出除定義外的性質(zhì)和判定猜想各一條，并從定義出發(fā)證明你的判定猜想．
（2）箏型ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O．
①如圖1，若BD=CO，求tan∠BCD的值．
②如圖2，若∠DAC=∠BCD=72°，求AD：CD的值．
（3）如圖3，把△ABD沿著對角線BD翻折，A點(diǎn)落在對角線AC上的E點(diǎn)．如果△AOD中，一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍，且陰影部分圖形的面積等于四邊形ABED的面積，直接寫出$\frac{AD}{CD}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)箏形的定義可得性質(zhì)：①箏形有一組對角相等；②箏形有一條對角線垂直平分另一條對角線；③箏形有一條對角線平分一組對角．判定：①有一條對角線垂直平一條對角線的四邊形是箏形；②有一條對角線平分一組對角的四邊形是箏形．根據(jù)定義得到AD=AB，CD=CB，證明∠ADC=∠ABC，有全等三角形即可得到結(jié)論，判定②如圖1，已A是四邊形ABCD的對角線，AC平分∠DAB和∠DCB，證明四邊形ABCD是箏形，通過△ADC≌△ABC，即可證得結(jié)論；
（2）①設(shè)OC=2OD=2OB=a，則CD=BD=$\sqrt{5}$a，由S_△BCD=$\frac{1}{2}$CD•CBsin∠BCD=$\frac{1}{2}$BD•CD，得到方程$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$a）²sin∠BCD=$\frac{1}{2}$×2a×2a，可得sin∠BCD=$\frac{4}{5}$，即tan∠BCD=$\frac{4}{3}$；
②如圖2，作∠BDC的平分線交AC于點(diǎn)E由于∠BCD=72°，得到∠2=$\frac{1}{2}$∠BCD=36°，由∠DAC=72°，得到∠ADC=72°，∠1=36推出△DAE∽△CDA得到比例式$\frac{AD}{AE}=\frac{DC}{DA}$，DC=AC，AE=AC-CE=CD-AD結(jié)論可得；
（3）如果△AOD中，一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍，分三種情況：①當(dāng)∠AOD=2∠DAO，由折疊的性質(zhì)得DB⊥AE，AO=OE，得到三角形AOD是等腰直角三角形，由陰影部分圖形的面積等于四邊形ABED的面積，得到AE=CE，OC=3AO=3OD，由勾股定理得到CD=$\sqrt{{OD}^{2}+（3OD）^{2}}$=$\sqrt{10}OD$，求得$\frac{AD}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}OD}{\sqrt{10}OD}$=1：$\sqrt{5}$，②當(dāng)∠DAO=2∠ADO，求得∠DAO=60°，∠AD0=30°，得到AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OD，AO=$\frac{\sqrt{3}}{3}OD$，由于AE=CE，OC=3AO=$\sqrt{3}$OD，由勾股定理得到CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=2OD，于是得到結(jié)論$\frac{AD}{CD}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}OD}{2OD}$=1：$\sqrt{3}$，③當(dāng)∠ADO=2∠DAO，得到∠ADO=60°，∠DAO=30°，于是得到AD=2OD，AO=$\sqrt{3}$OD，由于AE=CE，OC=3AO=3$\sqrt{3}$OD，由勾股定理得到CD=$\sqrt{O{D}^{2}++O{C}^{2}}$=2$\sqrt{7}$OD，于是得到結(jié)論$\frac{AD}{CD}$=$\frac{2OD}{2\sqrt{7}OD}$=1：$\sqrt{7}$，

解答 解：（1）性質(zhì)：①箏形有一組對角相等；
②箏形有一條對角線垂直平分另一條對角線；
③箏形有一條對角線平分一組對角．
判定：①有一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是箏形；
②有一條對角線平分一組對角的四邊形是箏形．
證明如下：性質(zhì)①如圖1，已知AD=AB，CD=CB，求證：∠ADC=∠ABC，
證明：在△ADC與△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{CD=BC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ABC，
∴∠ADC=∠ABC；
判定②如圖1，已知AC是四邊形ABCD的對角線，AC平分∠DAB和∠DCB，求證：四邊形ABCD是箏形，
證明：∵AC平分∠DAB和∠DCB，
∴∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
在△ADC與△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠BAC}\\{AC=AC}\\{∠DCA=∠BCA}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ABC，
∴AD=AB，BC=CD，
∴四邊形ABCD是箏形．

（2）①設(shè)OC=2OD=2OB=a，則CD=BD=$\sqrt{5}$a，
∵S_△BCD=$\frac{1}{2}$CD•CBsin∠BCD=$\frac{1}{2}$BD•CD，
∴$\frac{1}{2}$（$\sqrt{5}$a）²sin∠BCD=$\frac{1}{2}$×2a×2a，
可得：sin∠BCD=$\frac{4}{5}$，即tan∠BCD=$\frac{4}{3}$，
②如圖2，作∠BDC的平分線交AC于點(diǎn)E．
∵∠BCD=72°，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠BCD=36°，
∵∠DAC=72°，
∴∠ADC=72°，∠1=36°
∴△DAE∽△CDA
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{DC}{DA}$，DC=AC，AE=AC-CE=CD-AD
即：$\frac{AD}{CD-AD}=\frac{CD}{AD}$，
去分母得：AD²+CD•AD-CD²=0，
解得$AD=\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}CD$，$AD=\frac{{-1-\sqrt{5}}}{2}CD$（舍去），
∴AD：CD=$\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$；

（3）∵如果△AOD中，一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍，
①當(dāng)∠AOD=2∠DAO，
由折疊的性質(zhì)得DB⊥AE，AO=OE，
∴∠DAO=45°，
∴AD=$\sqrt{2}$OD，AO=OD
∵陰影部分圖形的面積等于四邊形ABED的面積，
∴AE=CE，OC=3AO=3OD，
∴CD=$\sqrt{{OD}^{2}+（3OD）^{2}}$=$\sqrt{10}OD$，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}OD}{\sqrt{10}OD}$=1：$\sqrt{5}$，
②當(dāng)∠DAO=2∠ADO，
∴∠DAO=60°，∠AD0=30°，
∴AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OD，AO=$\frac{\sqrt{3}}{3}OD$，
∵AE=CE，OC=3AO=$\sqrt{3}$OD，
∴CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=2OD，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}OD}{2OD}$=1：$\sqrt{3}$，
③當(dāng)∠ADO=2∠DAO，
∴∠ADO=60°，∠DAO=30°，
∴AD=2OD，AO=$\sqrt{3}$OD，
∵AE=CE，OC=3AO=3$\sqrt{3}$OD，
∴CD=$\sqrt{O{D}^{2}++O{C}^{2}}$=2$\sqrt{7}$OD，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{2OD}{2\sqrt{7}OD}$=1：$\sqrt{7}$，
綜上所述：如果△AOD中，一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍，且陰影部分圖形的面積等于四邊形ABED的面積，$\frac{AD}{CD}$的值為：1：$\sqrt{5}$，1：$\sqrt{3}$，1：$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，注意分類思想的應(yīng)用．