Question

4．如圖，銳角△ABC分別以A、B為直角頂點(diǎn)，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，再分別過(guò)點(diǎn)E、F作邊AB所在直線的垂線，垂足為M，N．
求證：EM+FN=AB．

Answer 1

分析 過(guò)C作CG垂直于AB，由EA垂直于AC，利用平角的定義得到一對(duì)角互余，再由CG垂直于AG，得到一對(duì)角互余，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等及AE=AC，利用AAS得到三角形ACG與三角形AEM全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到EM=AG，同理得到BG=FN，由AB=AG+GB，等量代換即可得證．

解答 解：如圖，過(guò)C作CG⊥AB，

∴∠CAG+∠ACG=90°，
∵△AEC為等腰直角三角形，
∴∠EAC=90°，AE=AC，
∴∠CAG+∠EAM=90°，
∴∠ACG=∠EAM，
∵在△ACG和△EAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGC=∠EMA}\\{∠ACG=∠EAM}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△EAM（AAS），
∴EM=AG，
同理GB=FN，
∴AB=AG+GB=EM+FN．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，軸對(duì)稱(chēng)-最短線路問(wèn)題，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．